已知双曲线的上焦点为是双曲线虚轴的一个端点，过的直线交双曲线的下支于点，若为的中点，且，则...

已知中心在坐标原点的椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆的离心率是.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的动直线与椭圆相交于两点.若线段的中点的横坐标是，求直线的方程.

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已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，直线l的方程为：

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于、两点

①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；

②已知点，求证：为定值

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知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，直线l的方程为：

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于、两点

①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；

②已知点，求证：为定值

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已知椭圆的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点垂直于的直线与轴交于点，且，求的值.

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已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是直线与轴的交点，过点的直线与椭圆相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围．

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已知椭圆的离心率为，以短轴的一个端点与两个焦点为顶点的三角形面积为，过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相较于两点，线段的中点为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值.

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已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个项点，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：．

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已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.

(Ⅰ）求椭圆的方程；

(Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点.

①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；

②已知点，求证：为定值.

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已知椭圆的中心在坐标原点，其焦点与双曲线的焦点重合，且椭圆的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过双曲线的右顶点作直线与椭圆交于不同的两点.设，当为定值时，求的值；

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已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.

（1）求椭圆的方程式；

（2）已知动直线与椭圆相交于两点.

①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；

②已知点，求证：为定值.

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