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某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)操作发现:在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是______(填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.
(2)数学思考:在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?请给出证明过程;
(3)类比探究:
(i)在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.答:______.
(ii)在三边互不相等的△ABC中(见备用图),仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE,M是BC的中点,连接MD和ME,要使(2)中的结论此时仍然成立,你认为需增加一个什么样的条件?(限用题中字母表示)并说明理由.
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某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是________(填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.
●数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
●类比探索:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.
答:________.
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(本题12分)某学校活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是 ①②③④
(填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形.
(2)●数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
(3)●类比探究:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则△MED的形状为__________ _________.等腰直角三角形
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某学校活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是______(填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.
●数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
●类比探究:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.答:______.
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某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:如图1,等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上,斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.
(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;
(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决:
小颖的想法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2);
小亮的想法:将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3);
请你从中任选一种方法进行证明.
(3)小敏继续旋转三角板,请你继续研究:当135°<α<180°时(如图4),等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立?请作出判断,不需要证明.
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某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.
(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;
(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决;小颖的想法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2)
小亮的想法:将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3);
小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究:当135°<α<180°时(如图4)等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
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某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:
如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.
(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC.请你证明小敏发现的结论;
(2)当0°<α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2.
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决;小颖的想法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2)
小亮的想法:将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3);
小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究:当135°<α<180°时(如图4)等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.
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综合与实践
问题情境
在综合实践课上,老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动,如图(1),在三角形纸片ABC中,AB=AC,∠B=∠C=α.
操作发现
(1)创新小组将图(1)中的△ABC以点B为旋转中心,逆时针旋转角度α,得到△DBE,再将△ABC以点A为旋转中心,顺时针旋转角度α,得到△AFG,连接DF,得到图(2),则四边形AFDE的形状是 .
(2)实践小组将图(1)中的△ABC以点B为旋转中心,逆时针逆转90°,得到△DBE,再将△ABC以点A为旋转中心,顺时针旋转90°,得到△AFG,连接DF、DG、AE,得到图(3),发现四边形AFDB为正方形,请你证明这个结论.
拓展探索
(3)请你在实践小组操作的基础上,再写出图(3)中的一个特殊四边形,并证明你的结论.
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(2009•青海)请阅读,完成证明和填空.
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:
(1)如图1,正三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、CM,发现BN=CM,且∠NOC=60度.请证明:∠NOC=60度.
(2)如图2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、DM,那么AN=______,且∠DON=______度.
(3)如图3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、EM,那么AN=______,且∠EON=______度.
(4)在正n边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论.
请大胆猜测,用一句话概括你的发现:______.
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(2009•青海)请阅读,完成证明和填空.
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:
(1)如图1,正三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、CM,发现BN=CM,且∠NOC=60度.请证明:∠NOC=60度.
(2)如图2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、DM,那么AN=______,且∠DON=______度.
(3)如图3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、EM,那么AN=______,且∠EON=______度.
(4)在正n边形中,对相邻的三边实施同样的操作过程,也会有类似的结论.
请大胆猜测,用一句话概括你的发现:______.