已知、均为锐角，且，。求的度数。小聪、小明、小慧三位同学都通过构造一个几何图形，使这个代数...

已知、均为锐角，且，。求的度数。

小聪、小明、小慧三位同学都通过构造一个几何图形，使这个代数计算问题快速、简捷地得到了解决，请你思考他们的方法，选择其中一个图形，解答上述问题。（也可以自己构造一个不同的图形，并完成解答）

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阅读下面材料：

小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．

小腾发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：的度数为　　　　　　 ，的长为　　　　　　　　 ．

参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形中，，，，与交于点，，，求的长．

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⑴ 阅读理解

问题1：已知a、b、c、d为正数，，ac=bd，试说明a=d，b=c.

我们通过构造几何模型解决代数问题. 注意到条件，如果把a、b、c、d分别看作为两个直角三角形的直角边，那么可构造图1所示的几何模型.

∵ac=bd,

∴AB·CD=BC·AD

∴

请你按照以上思路继续完成说明.

⑵ 深入探究

问题2：若a＞0，b＞0，试比较和的大小.

为此我们构造图2所示的几何模型，其中AB为直径, O为圆心，点C在半圆上，CD⊥AB 于D，AD＝a，BD＝b.

请你利用图2所示的几何模型解决提出的问题2．

⑶ 拓展运用

对于函数y=x+，求当x＞0时，求y的取值范围．

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问题：如图（12），在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段 的中点，连结．探究与的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

1.若图（12）中，写出线段与的位置关系及的值，并说明理由；

2.将图（12）中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图13）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

3.若图（12）中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．

【解析】
（1）线段与的位置关系是________；________．

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阅读下面材料：

小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形中，，，，，求的长．

小红发现，延长与相交于点，通过构造Rt△，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

（1）请回答：的长为　　　　　　 ．

（2）参考小红思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形中，，，，，求和的长．

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（8分）课堂上，王老师出了这样一道题：

已知，求代数式的值．

小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与无关” 解答过程如下：

原式 =　　 　 ①

= 　　　　　　　　　 　　 　　 ②

=　　　　　　 　　 　　 ③

= 　　　　　 　　 　　 　　 　　 ④

（1）从原式到步骤①，用到的数学知识有：　　　 ；

（2）步骤②中的空白处的代数式为：　　　　 ；

（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有：　　　　 ．

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