数学课上,张老师出示了问题1:如图1,四边形ABCD是正方形,BC=1,对角线交点记作O,点E是边BC延长线上一点.连接OE交CD边于F,设CE=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及其定义域.
(1)经过思考,小明认为可以通过添加辅助线﹣﹣过点O作OM⊥BC,垂足为M求解.你认为这个想法可行吗?请写出问题1的答案及相应的推导过程;
(2)如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形,BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形,BC=3,CD=2,”其余条件不变(如图2),请直接写出条件改变后的函数解析式;
(3)如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形,BC=1”进一步改为:“四边形ABCD是梯形,AD∥BC,BC=a,CD=b,AD=c(其中a,b,c为常量)”其余条件不变(如图3),请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程.
九年级数学解答题困难题
九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
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数学课上,张老师出示了问题1:如图1,四边形ABCD是正方形,BC=1,对角线交点记作O,点E是边BC延长线上一点.连接OE交CD边于F,设CE=x,CF=y,求y关于x的函数解析式及其定义域.
(1)经过思考,小明认为可以通过添加辅助线﹣﹣过点O作OM⊥BC,垂足为M求解.你认为这个想法可行吗?请写出问题1的答案及相应的推导过程;
(2)如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形,BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形,BC=3,CD=2,”其余条件不变(如图2),请直接写出条件改变后的函数解析式;
(3)如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形,BC=1”进一步改为:“四边形ABCD是梯形,AD∥BC,BC=a,CD=b,AD=c(其中a,b,c为常量)”其余条件不变(如图3),请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程.
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综合与实践
问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.
探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:
证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.
∵AD=2AB,∴AD=AE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴.(依据1)
∵BE=AB,∴.∴EM=DM.
即AM是△ADE的DE边上的中线,
又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依据2)
∴AM垂直平分DE.
反思交流:
(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;
(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;
探索发现:
(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.
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数学活动:擦出智慧的火花---------由特殊到一般的数学思想.
数学课上,李老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的点,过点E作EF⊥AE,过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G..
(1)求证:∠BAE=∠FEG.
(2)同学们很快做出了解答,之后李老师将题目修改成:如图2,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F,求证:AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.请借助图1完成小明的证明;
在(2)的基础上,同学们作了进一步的研究:
(3)小聪提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小聪的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
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数学课上,张老师出示了问题:如图1,、是四边形的对角线,若,则线段,,三者之间有何等量关系?
经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长到,使,连接,证得,从而容易证明是等边三角形,故,所以.
小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将绕着点逆时针旋转,使与重合,从而容易证明是等比三角形,故,所以.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图4,如果把“”改为“”,其它条件不变,那么线段,,三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并给出证明.
(2)小华提出:如图5,如果把“”改为“”,其它条件不变,那么线段,,三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,不用证明.
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在一节数学课上,老师出示了这样一个问题让学生探究:
已知:如图,在△ABC中,点D是BA边延长线上一动点,点F在BC上,且,连接DF交AC于点E.
(1)如图1,当点E恰为DF的中点时,请求出的值;
(2)如图2,当(a>0)时,请求出的值(用含a的代数式表示)
思考片刻后,同学们纷纷表达了自己的想法:
甲:过点F作FG∥AB交AC于点G,构造相似三角形解决问题;
乙:过点F作FG∥AC交AB于点G,构造相似三角形解决问题;
丙:过点D作DG∥BC交CA延长线于点G,构造相似三角形解决问题;
老师说:“这三位同学的想法都可以”.
(3)请参考上面某一种想法,完成第(1)问的求解过程,并直接写出第(2)问的值.
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