一条直线可把一个长方形分成两部分，两条直线最多可把长方形分成4部分；三条直线可把长方形最多...

一条直线可把一个长方形分成两部分，两条直线最多可把长方形分成4部分；三条直线可把长方形最多分成7部分；问10条线段最多可把长方形分成（   ）部分。

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我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．

（1）等边三角形“內似线”的条数为　　 　；

（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．

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如图，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．

某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．（如图）

问题．试在图的梯形中画出至少五条黄金分割线，并说明理由．

类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面将一个体积为的图形分成体积为V1

、的两个图形，且，则称直线为该图形的黄金分割面．

问题：如图，长方体中，是线段上的黄金分割点，证明经过点且平行于平面的截面是长方体的黄金分割面．

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如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图3），则直线也是的黄金分割线．

请你说明理由．

（4）如图4，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．

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如图，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，某教学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似的给出“黄金分割线”的定义：“一直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．

如图，在中，，，的平分线交于点，请问直线是不是的黄金分割线，并证明你的结论；

如图，在边长为的正方形中，点是边上一点，若直线是正方形的黄金分割线，求的长．

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如图①所示，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．

问题探究：　

（1）研究小组猜想：在中，若点为上的黄金分割点，如图②，则直线是的黄金分割线，你认为呢？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接如图③，则直线也是的黄金分割线，请你说明理由．

（3）如图④，点是平行四边形的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形的黄金分割线，使它不经过四边形各边黄金分割点．

（4）如图⑤等腰梯形，请你画出它的一条黄金分割线，使它不经过各边的黄金分割点．

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