问题发现：（）如图①，点为平行四边形内一点，请过点画一条直线，使其同时平分平行四边形的面积...

问题发现：

（）如图①，点为平行四边形内一点，请过点画一条直线，使其同时平分平行四边形的面积和周长．

问题探究：

（）如图②，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴正半轴上，点 坐标为．已知点为矩形外一点，请过点画一条同时平分矩形面积和周长的直线，说明理由并求出直线，说明理由并求出直线被矩形截得线段的长度．

问题解决：

（）如图③，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴正半轴上， 轴， 轴，且， ，点为五边形内一点．请问：是否存在过点的直线，分别与边与交于点、，且同时平分五边形的面积和周长?若存在，请求出点和点的坐标：若不存在，请说明理由．

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提出问题

在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”.

探究问题

（1）如图①，在中，，，，请你过点画出的一条“等分积周线”，与交于点，并求出的长；

（2）如图②，在中，，且，过点画一条直线，其中点为上一点，你觉得可能是的“等分积周线”吗？请说明理由；

解决问题

（3）西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处.在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地，其中，，，，现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积，且要求这条水渠必须经过边.请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与边的交点到点的距离.

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如图1,在中,于点的垂直平分线交于点,交于点,，．

(1)如图2,作于点,交于点,将沿方向平移,得到，连接．

①求四边形的面积；

②直线上有一动点,求周长的最小值．

(2)如图3．延长交于点．过点作,过边上的动点作,并与交于点,将沿直线翻折,使点的对应点恰好落在直线上,求线段的长．

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定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这　 个封闭图形的等分线。

（1）请在如下的三个图形中，分别作一条等分线．

　　　 圆　　　　　　　　　　　　　　　　 平行四边形　　　　　　　　　　　　　　 等腰三角形

（2）请在图中用尺规作图作一条直线，使它即是矩形的等分线，也是圆的等分线．（保留作图痕迹，不写作法）

（3）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点P是边AB上的动点，问是否存在过点P的等分线？若存在，求出AP的长，若不存在，请说明理由．

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已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC；

（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

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已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC；

（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

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