四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点．连结DE、CF．
（1）若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图（1）所示．
①请直接写出AE的长度;
②当DE⊥CF时,试求出CF长度．
（2）如图（2）,若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P．
探究：当∠B与∠PC满足什么关系时,
成立？并证明你的结论．
九年级数学解答题中等难度题
四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点．连结DE、CF．
（1）若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图（1）所示．
①请直接写出AE的长度;
②当DE⊥CF时,试求出CF长度．
（2）如图（2）,若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P．
探究：当∠B与∠PC满足什么关系时,成立？并证明你的结论．
九年级数学解答题中等难度题
四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点．连结DE、CF．
（1）若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图（1）所示．
①请直接写出AE的长度;
②当DE⊥CF时,试求出CF长度．
（2）如图（2）,若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P．
探究：当∠B与∠PC满足什么关系时,成立？并证明你的结论．
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如图1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD边上的一点，CE=5，M是BC边上的中点，动点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.设动点P的运动时间是t秒.
（1）求线段AE的长；
（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；
（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．
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（本题满分12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（提示：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为300）
（3）如图2，
，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
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如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；
②∠PBA=∠APQ；
③△FPC为等腰三角形；
④△APB≌△EPC．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；
②∠PBA=∠APQ；
③△FPC为等腰三角形；
④△APB≌△EPC．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连结BP并延长与AD的延长线交于点Q．
（1）求证：△AQB∽△CBP；
（2）当AB=2PC时，，求证：点D为AQ的中点．
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如图，平行四边形ABCD中，
是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是
A. 四边形CEDF是平行四边形
B. 当
时，四边形CEDF是矩形
C. 当
时，四边形CEDF是菱形
D. 当
时，四边形CEDF是菱形
九年级数学单选题中等难度题查看答案及解析
如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为_____．
九年级数学填空题困难题查看答案及解析
如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为_____．
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如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？
（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；
在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；
设S△DEP=a，S△AKG=b．
∵EC∥AF．
∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．
∵GD∥BI，
∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b
又∵S△DAG=4a+b=
S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=
S 四边形ABCD．
∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．
∴a= b，S四边形ABCD= b，S四边形KPOL= b．
∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则S四边形KPOL S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．
（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML= S四边形ABCD．
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