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已知正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中,B(4,4).如图1,若直角MPN的顶点P放置于正方形对角线边AC、OB交点处,直角MPN绕顶点P 旋转,角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N(不与点C、O、A重合).在旋转的过程中,易证:四边形OMPN的面积为定值,且S
四边形OMPN
=4.
(1)如图2,若直角MPN的顶点P放置于对角线OB上,且
=
,直角MPN绕顶点P旋转,角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N(不与点C、O、A重合).设CM=a,四边形OMPN的面积为S,则S随a的变化而变化吗?若不变,请求出S的值;若变化,请求出S与a的关系式.
(2)如图3,若直角MPN的顶点P放置于对角线AC上,且
=
,直角MPN绕顶点P旋转,角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N(不与点C、O、A重合).设CM=a,四边形OMPN的面积为S=______. (直接写出答案,不需证明;若S随a的变化而不变,直接写出S的值;若变化,直接写出S与a的关系式.)
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已知正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中,B(4,4).如图1,若直角MPN的顶点P放置于正方形对角线边AC、OB交点处,直角MPN绕顶点P 旋转,角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N(不与点C、O、A重合).在旋转的过程中,易证:四边形OMPN的面积为定值,且S
四边形OMPN
=4.
(1)如图2,若直角MPN的顶点P放置于对角线OB上,且
=
,直角MPN绕顶点P旋转,角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N(不与点C、O、A重合).设CM=a,四边形OMPN的面积为S,则S随a的变化而变化吗?若不变,请求出S的值;若变化,请求出S与a的关系式.
(2)如图3,若直角MPN的顶点P放置于对角线AC上,且
=
,直角MPN绕顶点P旋转,角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N(不与点C、O、A重合).设CM=a,四边形OMPN的面积为S=______. (直接写出答案,不需证明;若S随a的变化而不变,直接写出S的值;若变化,直接写出S与a的关系式.)
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将矩形OABC如图放置在平面直角坐标系中,OA=4,OC=2,两条对角线交于点P,且点P为抛物线y=(x-a)
2
+b的顶点.
(1)求a、b的值;
(2)抛物线交BC于点D、E,求线段DE的长.
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如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过A点,顶点D是OC的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于F,G点,试比较线段OE与EG的长度;
(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段IJ过点H与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于I、J点,点K在y轴的正半轴上,且OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
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如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过A点,顶点D是OC的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于F,G点,试比较线段OE与EG的长度;
(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段IJ过点H与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于I、J点,点K在y轴的正半轴上,且OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
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如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过A点,顶点D是OC的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于F,G点,试比较线段OE与EG的长度;
(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段IJ过点H与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于I、J点,点K在y轴的正半轴上,且OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
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如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过A点,顶点D是OC的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于F,G点,试比较线段OE与EG的长度;
(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段IJ过点H与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于I、J点,点K在y轴的正半轴上,且OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
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如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过A点,顶点D是OC的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于F,G点,试比较线段OE与EG的长度;
(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段IJ过点H与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于I、J点,点K在y轴的正半轴上,且OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
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如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过A点,顶点D是OC的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于F,G点,试比较线段OE与EG的长度;
(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段IJ过点H与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于I、J点,点K在y轴的正半轴上,且OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
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如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过A点,顶点D是OC的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于F,G点,试比较线段OE与EG的长度;
(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段IJ过点H与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于I、J点,点K在y轴的正半轴上,且OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
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如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长是2.O为坐标原点,点A在x的正半轴上,点C在y的正半轴上.一条抛物线经过A点,顶点D是OC的中点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点,线段FG过点E与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于F,G点,试比较线段OE与EG的长度;
(3)点H是抛物线上在正方形内部的任意一点,线段IJ过点H与x轴垂直,分别交x轴和线段BC于I、J点,点K在y轴的正半轴上,且OK=OH,请证明△OHI≌△JKC.
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