如图12，已知抛物线过点，，过定点的直线与抛物线交于，两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，...

如图12，已知抛物线过点，，过定点的直线与抛物线交于，两点，点在点的右侧，过点作轴的垂线，垂足为.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点在抛物线上运动时，判断线段与的数量关系(、、)，并证明你的判断；

(3)为轴上一点，以为顶点的四边形是菱形，设点，求自然数的值；

(4)若，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，求出点的坐标及的最大面积，若不存在，请说明理由.

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如图,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧),顶点为C, 点D（1,m）在此二次函数图象的对称轴上,过点D作y轴的垂线,交对称轴右侧的抛物线于E点．

（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；

（2）当点D的坐标为（1,1）时,连接BD、．求证：平分；

（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限,若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,求点E的横坐标．

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如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，

P点关于x轴的对称点为P′，过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右

侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：

（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；

（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．

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如图9，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：

（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；

（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．

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如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

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已知点在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点的坐标为，直线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为，设抛物线与轴的正半轴交于点，连接，求证；

（3）如图2，直线分别交轴，轴于两点，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点从原点出发，沿轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点是直线与抛物线的一个交点，当运动到秒时，，直接写出的值．

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如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ．

（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；

（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ．

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