九年级数学解答题中等难度题
九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
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认真阅读下列问题,并加以解决:
问题1:如图1,△ABC是直角三角形,∠C =90º.现将△ABC补成一个矩形.要求:使△ABC的两个顶点成为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上.请将符合条件的所有矩形在图1中画出来;
图1 图2
问题2:如图2,△ABC是锐角三角形,且满足BC>AC>AB,按问题1中的要求把它补成矩形.请问符合要求的矩形最多可以画出________个,并猜想它们面积之间的数量关系是(填写“相等”或“不相等”);
问题3:如果△ABC是钝角三角形,且三边仍然满足BC>AC>AB,现将它补成矩形.要求:△ABC有两个顶点成为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是(填写“相等”或“不相等”).
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阅读以下短文,然后解决下列问题:
如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个 .
(1) 仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”;
(2) 如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;
(3) 若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
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综合与实践
问题情境
在综合与实践课上,老师组织同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展数学活动.如图1,矩形ABCD中,AD=2AB,连接AC,将△ABC绕点A旋转到某一位置,观察图形,提出问题并加以解决.
实践操作
(1)如图2,慎思组的同学将图1中的△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,得到△A'B'C',此时B'C过点D,则∠ADB= 度.
(2)博学组的同学在图2的基础上继续旋转到图3,此时点C'落在CD的延长线上,连接BB',该组提出下面两个问题:
①C'D和AB有何数量关系?并说明理由.
②BB'和AC′有何位置关系?并说明理由.
请你解决该组提出的这两个问题.
提出问题
(3)请你参照以上操作,将图1中的△ABC旋转至某一位置,在图4中画出新图形,表明字母,说明构图方法,并提出一个问题,不必解答.
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阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在三角形内取一点D,AD=AC,∠CAD=30°,求∠ADB.
小明通过探究发现,∠DAB=∠DCB=15°,BC=AD,这样就具备了一边一角的图形特征,他果断延长CD至点E,使CE=AB,连接EB,造出全等三角形,使问题得到解决.
(1)按照小明思路完成解答,求∠ADB;
(2)参考小明思考问题的方法,解答下列问题:
如图2,△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点,连接DE,延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H,若∠DHC=∠EDG=2∠G.
①在图中找出与∠DEC相等的角,并加以证明;
②若BG=kCD,猜想DE与DG的数量关系并证明.
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请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
(1)探究1,如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=3,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,过点D做BC边上的高DE,则DE与BC的数量关系是 ,△BCD的面积为 ;
(2)探究2,如图②,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由;
(3)探究3:如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程.
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