在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为C,直线AC交y轴于点D,D为AC的中点.
(1)如图1,求抛物线的顶点坐标;
(2)如图2,点P为抛物线对称轴右侧上的一动点,过点P作PQ⊥AC于点Q,设点P的横坐标为t,点Q的横坐标为m,求m与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,如图3,连接AP,过点C作CE⊥AP于点E,连接BE、CE分别交PQ于F、G两点,当点F是PG中点时,求点P的坐标.
九年级数学解答题困难题
在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为C,直线AC交y轴于点D,D为AC的中点.
(1)如图1,求抛物线的顶点坐标;
(2)如图2,点P为抛物线对称轴右侧上的一动点,过点P作PQ⊥AC于点Q,设点P的横坐标为t,点Q的横坐标为m,求m与t的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,如图3,连接AP,过点C作CE⊥AP于点E,连接BE、CE分别交PQ于F、G两点,当点F是PG中点时,求点P的坐标.
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+2ax﹣3a(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求抛物线的对称轴及线段AB的长;
(2)抛物线的顶点为P,若∠APB=120°,求顶点P的坐标及a的值;
(3)若在抛物线上存在一点N,使得∠ANB=90°,结合图象,求a的取值范围.
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在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D,且过点(2,﹣3a).
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点P,过点P作PM⊥BD,垂足为点M,PM=2DM?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)在(2)的条件下,求△PMD的面积.
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如图,在平面直角坐标中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a≠0)与x轴交于A、B(A在B的左侧),与y轴交于点C,且OC=3OA.
(1)如图(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(2)动点P从点O出发,沿y轴正方向以每秒1个单位的速度移动,点D是抛物线顶点,连接PB、PD、BD,设点P运动时间为t(单位:秒),△PBD的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)如图(3)在(2)的条件下,延长BP交抛物线于点Q,过点O作OE⊥BQ,垂足为E,连接CE、CB,若CE=CB,求t值,并求出此时的Q点坐标.
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如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)求点A的坐标及直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);
(2)点E为直线l下方抛物线上一点,当△ADE的面积的最大值为时,求抛物线的函数表达式.
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如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,BO=CO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第一象限抛物线上的一动点,连接AP,交y轴于点D,连接CP,设P点横坐标为t,△CDP的面积为S,求S与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,过点P作PE⊥x轴于点E,连接PB,过点A作AF⊥PB于点F,交线段PE于点G,若点H在x轴负半轴上,PH=2GE,点M(0,m)在y轴正半轴上,连接PM、PH,∠HPM=2∠BHP,PH=2PM,求m的值.
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在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A,B的坐标;
(2)若M为对称轴与x轴交点,且DM=2AM.
①求二次函数解析式;
②当t﹣2≤x≤t时,二次函数有最大值5,求t值;
③若直线x=4与此抛物线交于点E,将抛物线在C,E之间的部分记为图象记为图象P(含C,E两点),将图象P沿直线x=4翻折,得到图象Q,又过点(10,﹣4)的直线y=kx+b与图象P,图象Q都相交,且只有两个交点,求b的取值范围.
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在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A,B的坐标;
(2)若M为对称轴与x轴交点,且DM=2AM.
①求二次函数解析式;
②当t﹣2≤x≤t时,二次函数有最大值5,求t值;
③若直线x=4与此抛物线交于点E,将抛物线在C,E之间的部分记为图象记为图象P(含C,E两点),将图象P沿直线x=4翻折,得到图象Q,又过点(10,﹣4)的直线y=kx+b与图象P,图象Q都相交,且只有两个交点,求b的取值范围.
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