(14分)△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP=CQ...

(14分)

△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP=CQ，连结PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E.

(1)如图，当点P在边AB(与点A、B不重合)上，问：

①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.

②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？若能，求出DE

的长，若不能，简要说明理由；

(2)当点P在射线AB上，若设AP=x，CD=y，求：

①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．

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如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图1，猜想∠QEP=　　　　 °；

（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

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如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图1，猜想∠QEP=　 　　 °；

（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．

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已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.

（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

（3）若AB=，设BP=4，求QF的长．

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等腰三角形ABC中,AB=CB=5,AC=8,P为AC边上一动点,PQ⊥AC,PQ与△ABC的腰交于点Q,连结CQ,设AP为x,△CPQ的面积为y,则y关于x的函数关系的图象大致是（　　　 ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

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如图1，已知正方形ABCD边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ、DQ、CQ、BQ．设AP﹦x．

（1）BQ+DQ的最小值是　　　　　　 ，此时x的值是　　　　　　　 ；

（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于E，并且∠CQD=90°．

① 求证：QE﹦EC；　　 ② 求x的值．

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如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.

1.如图2，当BP=BA时，∠EBF=　 　°，猜想∠QFC=________°；

2.如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明

3.已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y ，求y关于的函数关系式．

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如图，把两个边长相等的等边△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，点E、F分别是射线CB、DC上的动点（E、F与B、C、D不重合），且始终保持BE=CF，连结AE、AF、EF．

（1）求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；

（2）①当点E运动到什么位置时，EF⊥DC？

②若AB=4，当∠EAB=15°时，求△CEF的面积．

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