(题文)(题文)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);
(2)说明直线与抛物线有两个交点;
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.
(Ⅰ)若-1≤a≤,求线段MN长度的取值范围;
(Ⅱ)求△QMN面积的最小值.
九年级数学解答题困难题
已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
【答案】(1)b=﹣2a,顶点D的坐标为(﹣,﹣);(2);(3) 2≤t<.
【解析】试题分析:(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系,可用a表示出抛物线解析式,化为顶点式可求得其顶点D的坐标;
(2)把点代入直线解析式可先求得m的值,联立直线与抛物线解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程,可求得另一交点N的坐标,根据a<b,判断a<0,确定D、M、N的位置,画图1,根据面积和可得的面积即可;
(3)先根据a的值确定抛物线的解析式,画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时,t的值,再确定当线段一个端点在抛物线上时,t的值,可得:线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.
(1)∵抛物线有一个公共点M(1,0),
∴a+a+b=0,即b=−2a,
∴抛物线顶点D的坐标为
(2)∵直线y=2x+m经过点M(1,0),
∴0=2×1+m,解得m=−2,
∴y=2x−2,
则
得
∴(x−1)(ax+2a−2)=0,
解得x=1或
∴N点坐标为
∵a<b,即a<−2a,
∴a<0,
如图1,设抛物线对称轴交直线于点E,
∵抛物线对称轴为
设△DMN的面积为S,
(3)当a=−1时,
抛物线的解析式为:
有
解得:
∴G(−1,2),
∵点G、H关于原点对称,
∴H(1,−2),
设直线GH平移后的解析式为:y=−2x+t,
−x2−x+2=−2x+t,
x2−x−2+t=0,
△=1−4(t−2)=0,
当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0),
把(1,0)代入y=−2x+t,
t=2,
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是
【题型】解答题
【结束】
24
在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上的一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE,设∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)如图①,当点D在线段BC上,如果α=60°,β=120°;
如图②,当点D在线段BC上,如果α=90°,β=90°
如图③,当点D在线段BC上,如果α,β之间有什么样的关系?请直接写出.
(2)如图④,当点D在射线BC上,(1)中结论是否成立?请说明理由.
(3)如图⑤,当点D在射线CB上,且在线段BC外,(1)中结论是否成立?若不成立,请直接写出你认为正确的结论.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
【答案】(1)b=﹣2a,顶点D的坐标为(﹣,﹣);(2);(3) 2≤t<.
【解析】试题分析:(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系,可用a表示出抛物线解析式,化为顶点式可求得其顶点D的坐标;
(2)把点代入直线解析式可先求得m的值,联立直线与抛物线解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程,可求得另一交点N的坐标,根据a<b,判断a<0,确定D、M、N的位置,画图1,根据面积和可得的面积即可;
(3)先根据a的值确定抛物线的解析式,画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时,t的值,再确定当线段一个端点在抛物线上时,t的值,可得:线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.
(1)∵抛物线有一个公共点M(1,0),
∴a+a+b=0,即b=−2a,
∴抛物线顶点D的坐标为
(2)∵直线y=2x+m经过点M(1,0),
∴0=2×1+m,解得m=−2,
∴y=2x−2,
则
得
∴(x−1)(ax+2a−2)=0,
解得x=1或
∴N点坐标为
∵a<b,即a<−2a,
∴a<0,
如图1,设抛物线对称轴交直线于点E,
∵抛物线对称轴为
设△DMN的面积为S,
(3)当a=−1时,
抛物线的解析式为:
有
解得:
∴G(−1,2),
∵点G、H关于原点对称,
∴H(1,−2),
设直线GH平移后的解析式为:y=−2x+t,
−x2−x+2=−2x+t,
x2−x−2+t=0,
△=1−4(t−2)=0,
当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0),
把(1,0)代入y=−2x+t,
t=2,
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是
【题型】解答题
【结束】
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如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
【答案】(1)b=﹣2a,顶点D的坐标为(﹣,﹣);(2);(3) 2≤t<.
【解析】试题分析:(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系,可用a表示出抛物线解析式,化为顶点式可求得其顶点D的坐标;
(2)把点代入直线解析式可先求得m的值,联立直线与抛物线解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程,可求得另一交点N的坐标,根据a<b,判断a<0,确定D、M、N的位置,画图1,根据面积和可得的面积即可;
(3)先根据a的值确定抛物线的解析式,画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时,t的值,再确定当线段一个端点在抛物线上时,t的值,可得:线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.
(1)∵抛物线有一个公共点M(1,0),
∴a+a+b=0,即b=−2a,
∴抛物线顶点D的坐标为
(2)∵直线y=2x+m经过点M(1,0),
∴0=2×1+m,解得m=−2,
∴y=2x−2,
则
得
∴(x−1)(ax+2a−2)=0,
解得x=1或
∴N点坐标为
∵a<b,即a<−2a,
∴a<0,
如图1,设抛物线对称轴交直线于点E,
∵抛物线对称轴为
设△DMN的面积为S,
(3)当a=−1时,
抛物线的解析式为:
有
解得:
∴G(−1,2),
∵点G、H关于原点对称,
∴H(1,−2),
设直线GH平移后的解析式为:y=−2x+t,
−x2−x+2=−2x+t,
x2−x−2+t=0,
△=1−4(t−2)=0,
当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0),
把(1,0)代入y=−2x+t,
t=2,
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是
【题型】解答题
【结束】
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摇椅是老年人很好的休闲工具,右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图,摇椅静止时,以O为圆心OA为半径的的中点P着地,地面NP与相切,已知∠AOB=60°,半径OA=60cm,靠背CD与OA的夹角∠ACD=127°,C为OA的中点,CD=80cm,当摇椅沿滚动至点A着地时是摇椅向后的最大安全角度.
(1)静止时靠背CD的最高点D离地面多高?
(2)静止时着地点P至少离墙壁MN的水平距离是多少时?才能使摇椅向后至最大安全角度时点D不与墙壁MN相碰.
(精确到1cm,参考数据π取3.14,sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,sin67°=0.92,cos67°=0.39,tan67°=2.36, =1.41, =1.73)
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已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);
(2)说明直线与抛物线有两个交点;
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.
①若-1≤a≤一,求线段MN长度的取值范围;
②求△QMN面积的最小值.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
(题文)(题文)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);
(2)说明直线与抛物线有两个交点;
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.
(Ⅰ)若-1≤a≤,求线段MN长度的取值范围;
(Ⅱ)求△QMN面积的最小值.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
(题文)(题文)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);
(2)说明直线与抛物线有两个交点;
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.
(Ⅰ)若-1≤a≤,求线段MN长度的取值范围;
(Ⅱ)求△QMN面积的最小值.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析