已知在图一中，将等边
绕BC边中点D顺时针旋转
至
，直线AG与直线CF交于点
求证
．小明同学的思路是这样的：通过证明
∽
得到
，从而得到
，继续推理就可以使问题得到解决．
请根据小明的思路，求证：；
爱动脑筋的小明把问题做了进一步思考，他想：如果把题目的“等边”改成“等腰直角，其中
，
”，如图二，中的结论还成立吗？如果成立，求此时线段BM的最大值．
小明继续大胆设问：如图三，在中，
，
，将这样的按照题目中的方式旋转，请直接写出AG与CF的位置关系以及线段BM的变化范围．
九年级数学解答题困难题
已知在图一中，将等边绕BC边中点D顺时针旋转至，直线AG与直线CF交于点求证．小明同学的思路是这样的：通过证明∽得到，从而得到，继续推理就可以使问题得到解决．
请根据小明的思路，求证：；
爱动脑筋的小明把问题做了进一步思考，他想：如果把题目的“等边”改成“等腰直角，其中，”，如图二，中的结论还成立吗？如果成立，求此时线段BM的最大值．
小明继续大胆设问：如图三，在中，，，将这样的按照题目中的方式旋转，请直接写出AG与CF的位置关系以及线段BM的变化范围．
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如图一，菱形
的边长为
，点
是
的中点，且
．
求证：
是等边三角形；
将图一中
绕点
逆时针旋转，使得点
和点
重合，得到，连接
，如图二，求线段的长．
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（
）探究发现
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图①在等边
内部，有一点
，若
，求证： 
，
证明：将
绕
点逆时针旋转
，得到
，连接
，则
为等边三角形．
∴
， 
， 
__________．
∵，∴
，
∴
__________，
即，
（
）类比延伸：
如图②在等腰三角形
中， 
，内部有一点，若
，试判断线段
、
、
之间的数量关系，并证明．
（
）联想拓展：
如图③在中， 
， 
，点在直线
上方，且
，满足
，请直接写出
的值．
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BC，求证∠BAC=90°．
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（1）问题探究
数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明．
如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=
BC，求证∠BAC=90°．
同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路：
思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…
思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识…
思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识…
思路四…
请选择一种方法写出完整的证明过程；
（2）结论应用
李老师要求同学们很好地理解（1）中命题的条件和结论，并直接运用（1）命题的结论完成以下两道题：
①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙O的切线；
②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值．
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问题情境：如图1，在等边△ABC中，点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数？
小明在解决这个问题时，想到了以下思路：如图2，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连结DP．
请你在小明的思路提示下，求出∠APC的度数．
思路应用：如图3，△ABC为等边三角形，点P在△ABC外，且PA=6，PC=8，∠APC=30°，求PB的长；
思路拓展：如图4，矩形ABCD中，AB=
BC，P为矩形ABCD内一点，PA：PB：PC=2
：1：2，则∠APB= °．（直接填空）
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，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
，问题得到解决．
，BP=
，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
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，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析