阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550﹣1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707﹣1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log525可以转化为52=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:loga(M•N)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);理由如下:
设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an
∴M•N=am•an=am+n,由对数的定义得m+n=loga(M•N)
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga(M•N)=logaM+logaN
解决以下问题:
(1)将指数43=64转化为对数式_____;
(2)证明loga=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(3)拓展运用:计算log32+log36﹣log34=_____.
八年级数学解答题困难题
阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550﹣1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707﹣1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log525可以转化为52=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:loga(M•N)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);理由如下:
设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an
∴M•N=am•an=am+n,由对数的定义得m+n=loga(M•N)
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga(M•N)=logaM+logaN
解决以下问题:
(1)将指数43=64转化为对数式_____;
(2)证明loga=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(3)拓展运用:计算log32+log36﹣log34=_____.
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先仔细阅读材料,再解决问题:
完全平方式x2±2xy+y2=(x±y)2以及(x±y)2的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用,比如探求2x2+12x﹣4的最大(小)值时,我们可以配成完全平方式来解决:
【解析】
原式=2(x2+6x﹣2)=2(x2+6x+9﹣9﹣2)=2[(x+3)2﹣11]=2(x+3)2﹣22.
∵无论x取什么数,都有(x+3)2≥0,∴(x+3)2的最小值为0;
∴x=﹣3时,2(x+3)2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22;
∴当x=﹣3时,2x2+12x﹣4的最小值是﹣22.
请根据上面的解题思路,解答下列问题:
(1)多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少,并写出对应的x的值;
(2)判断多项式有最大值还是最小值,请你说明理由并求出当x为何值时,此多项式的最大值(或最小值)是多少.
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(10分)阅读下列材料:
“a2≥0”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如:x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1,
∵(x+2)2≥0, ∴(x+2)2+1≥1, ∴x2+4x+5≥1.
试利用“配方法”解决下列问题:
(1)填空: x2―4x+5 =(x________ ________________ ________)2+________ ________________ ________;
(2)已知,x2―4x+y2+2y+5=0,求x+y的值;
(3)比较代数式x2―1与2x―3的大小.(提示:比差法)
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仔细阅读材料,再尝试解决问题:
完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用,比如探求 的最大(小)值时,我们可以这样处理:
【解析】
原式 = .
因为无论 取什么数,都有的值为非负数,所以的最小值为0;此时 时,进而 的最小值是 ;所以当时,原多项式的最小值是 .
请根据上面的解题思路,探求:
⑴.多项式 的最小值是多少,并写出对应的的取值;
⑵.多项式的最大值是多少,并写出对应的的取值.
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仔细阅读材料,再尝试解决问题:
完全平方式 以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用,比如探求 的最大(小)值时,我们可以这样处理:
【解析】
原式 = .
因为无论 取什么数,都有的值为非负数,所以的最小值为0;此时 时,进而 的最小值是 ;所以当时,原多项式的最小值是 .
请根据上面的解题思路,探求:
⑴.多项式 的最小值是多少,并写出对应的的取值;
⑵.多项式的最大值是多少,并写出对应的的取值.
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阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约1170﹣1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果,在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中,n≥1).这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
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阅读材料,回答下列问题:
我们知道对于二次三项式这样的完全平方式,可以用公式将它分解成的形式,但是,对于二次三项式就不能直接用完全平方公式,可以采用如下方法:
==.
像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是配方法.请同学们借助这种数学思想方法把多项式分解因式.
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阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如.善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中a、b、m、n均为整数),则有.
∴.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(a,b,m,n均为正整数)
(1),用含m、n的式子分别表示a、b,得:a=___,b=___;
(2)当a=7,n=1时,填空:7+ =( +)2
(3)若,求a的值.
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阅读材料:小明在学习二次根式后发现了一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如。善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中、、、均为整数),则有。
∴, 。这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当、、、均为正整数时,若,用含、的式子分别表示、得: = , = ;
(2)利用所探索结论,找一组正整数、、、填空: + =( + ;
(3)若,且、、均为正整数,求的值。
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阅读材料: 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:,善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中均为整数),则有 .
∴.这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当均为正整数时,若,用含m、n的式子分别表示,得 = ,= ;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数,填空: + =( + )2;
(3)若,且均为正整数,求的值.
【答案】(1);;(2)4,2,1,1(答案不唯一);(3)=7或13
【解析】分析:(1)由a+b=(m+n)2,展开比较系数可得答案;
(2)取m=1,n=1,可得a和b的值,可得答案;
(3)由题意得m和n的方程,解方程可得m和n,可得a值.
详【解析】
(1)∵a+b=(m+n)2,
∴a+b=m2+3n2+2mn,
∴a=m2+3n2,b=2mn.
故答案为:m2+3n2,2mn.
(2)设m=1,n=1,
∴a=m2+3n2=4,b=2mn=2.
故答案为4、2、1、1.
(3)由题意,得:
a=m2+3n2,b=2mn
∵4=2mn,且m、n为正整数,
∴m=2,n=1或者m=1,n=2,
∴a=22+3×12=7,或a=12+3×22=13.
点睛:本题主要考查二次根式的混合运算,完全平方公式,解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则.
【题型】解答题
【结束】
28
如图1,已知点A(a,0),B(0,b),且a、b满足,
□ABCD的边AD与y轴交于点E,且E为AD中点,双曲线经过C、D两点.
(1)若点D点纵坐标为t,则C点纵坐标为 (含t的代数式表示),k的值为 ;
(2)点P在双曲线上,点Q在y轴上,若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,试求满足要求的所有点P、Q的坐标;
(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH(如图3),点T是边AF上一动点,M是HT的中点,MN⊥HT,交AB于N,连接FN,当T在AF上运动时,试判断∠ATH 与∠AFN 之间的数量关系,并说明理由。
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