如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿E...

如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的最小值是_____．

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如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的最小值是(　　)

A. 5　　 B. 6　　 C. 　　 D. －1

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如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是(　　 )

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

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如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）证明：△AGE≌△ECF；

（2）连接GD，DF．判断四边形GEFD的形状，并说明理由；

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综合与实践

问题情境：正方形折叠中的数学

已知正方形纸片ABCD中，AB=4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．

(1)如图1，当∠BCE=30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；

深入探究：

(2)在CD边上取点F，使DF=BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．

请你从A，B两题中任选一题作答，我选择　　 　题．

A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，

①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；

②直写出此时点H，G之间的距离．

B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，

①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；

②直接写出此时点H，G之间的距离．

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如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿E所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是_____．

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如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿E所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是_____．

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某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.

活动情境：

如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．

所得结论：

当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：

甲：△AEF的边AE=____cm，EF=____cm；

乙：△FDM的周长为16 cm；

丙：EG=BF.

你的任务：

1.填充甲同学所得结果中的数据；

2.写出在乙同学所得结果的求解过程；

3.当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：

① 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；

② 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

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