综合与实践
问题情境：正方形折叠中的数学
已知正方形纸片ABCD中，AB=4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．
(1)如图1，当∠BCE=30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；
深入探究：
(2)在CD边上取点F，使DF=BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．
请你从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；
②直写出此时点H，G之间的距离．
B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；
②直接写出此时点H，G之间的距离．
九年级数学解答题困难题
综合与实践
问题情境：正方形折叠中的数学
已知正方形纸片ABCD中，AB=4，点E是AB边上的一点，点G是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′．
(1)如图1，当∠BCE=30°时，连接BG，B′G，求证：四边形BEB′G是菱形；
深入探究：
(2)在CD边上取点F，使DF=BE，点H是AF的中点，再将正方形纸片ABCD沿AF所在直线折叠，点D的对应点为D′，顺次连接B′，G，D′，H，B'，得到四边形B′GD′H．
请你从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A题：如图2，当点B'，D′均落在对角线AC上时，
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；
②直写出此时点H，G之间的距离．
B题：如图3，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N，当点B'，D′均落在MN上时，
①判断B′G与D′H的数量关系与位置关系，并说明理由；
②直接写出此时点H，G之间的距离．
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综合与实践：折纸中的数学
问题情境：数学活动课上，老师让同学们折叠正方形纸片ABCD进行探究活动，兴趣小组的同学经过动手操作探究，提出了如下两个问题：
问题1：如图（1），若点E为BC的中点，设AE将正方形纸片ABCD折叠，点B的对应点为B′，连接B′C，求证：B′C∥AE．
问题2：如图（2），若点E，点F分别为边BC，边AD的中点，沿AE、CF将正方形纸片ABCD折叠，点B的对应点为B′，点D的对应点D′，D′F与AB′交于点H，B′E与CD′交于点G，求证：四边形D′GB′H为矩形．
（1）解决问题：请你对兴趣小组提出的两个问题进行证明．
（2）拓展探究：解决完兴趣小组提出的两个问题后，实践小组的同学们进行如下实践操作：如图（3），点E，点F分别为BC、AD上的点，将正方形纸片沿AE、CF折叠，使得点B落在对角线上的点B′处，点D落在对角线AC上的点D′处，AE与对角线BD的交点为M，CF与对角线BD的交点为N，分别连接MB′，B′N，D′N，D′M．他们认为四边形MB′ND′为正方形．
实践小组的同学们发现的结论是否正确？请你说明理由．
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综合与实践﹣猜想、证明与拓广
问题情境：
数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图1，正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D关于直线AE的对称点为点F，直线DF交AB于点H，直线FB与直线AE交于点G，连接DG，CG．
猜想证明
（1）当图1中的点E与点B重合时得到图2，此时点G也与点B重合，点H与点A重合．同学们发现线段GF与GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为： ；
（2）希望小组的同学发现，图1中的点E在边BC上运动时，（1）中结论始终成立，为证明这两个结论，同学们展开了讨论：
小敏：根据轴对称的性质，很容易得到“GF与GD的数量关系”…
小丽：连接AF，图中出现新的等腰三角形，如△AFB，…
小凯：不妨设图中不断变化的角∠BAF的度数为n，并设法用n表示图中的一些角，可证明结论．
请你参考同学们的思路，完成证明；
（3）创新小组的同学在图1中，发现线段CG∥DF，请你说明理由；
联系拓广：
（4）如图3若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD“，∠ABC=α，其余条件不变，请探究∠DFG的度数，并直接写出结果（用含α的式子表示）．
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问题情境:
在综合实践课上，张老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，张老师拿着一张矩形纸片ABCD，其中AB=acm, AD=bcm, 如图1，先沿对角线BD折叠，点C落在点E的位置，BE交AD于点F.
操作发现：
（1）“奋进”小组发现与BF的长度一定相等的线段是哪一条；
（2）如图2．“雄鹰”小组将图1再折叠一次，使点D与点A重合，得到折痕GH，GH交AD于点M，发现△DGH是等腰三角形，请你证明这个结论；
实践探究：
（3）“创新”小组将自己准备的矩形纸片按照（2）中“雄鹰”小组的作法操作，发现点E和点G重合，，如图3，试探究“创新”小组准备的矩形纸片中a与b满足的数量关系；
（4）”爱心”小组在其他小组的基础上提出问题：当a与b满足什么关系时，点G是DE的中点？请你直接出a与b满足的关系.
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某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.
活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE=____cm，EF=____cm；
乙：△FDM的周长为16 cm；
丙：EG=BF.
你的任务：
1.填充甲同学所得结果中的数据；
2.写出在乙同学所得结果的求解过程；
3.当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
① 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
② 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？
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某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.
活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE=________cm，EF=________cm；
乙：△FDM的周长为16 cm；
丙：EG=BF.
你的任务：
1.填充甲同学所得结果中的数据；
2. 写出在乙同学所得结果的求解过程；
3.当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
① 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
② 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？
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综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
∴
．（依据1）
∵BE=AB，∴
．∴EM=DM．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．
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问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P．
独立思考：
（1）AE= cm，△FDM的周长为 cm；
（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸：
如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：
①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论．
②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）．
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