问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕...

问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P．

独立思考：

（1）AE=　 　　　　　　　 cm，△FDM的周长为 　　　　　　 cm；

（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸：

如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：

①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论．

②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）．

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某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.

活动情境：

如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．

所得结论：

当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：

甲：△AEF的边AE=____cm，EF=____cm；

乙：△FDM的周长为16 cm；

丙：EG=BF.

你的任务：

1.填充甲同学所得结果中的数据；

2.写出在乙同学所得结果的求解过程；

3.当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：

① 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；

② 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

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某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.

活动情境：

如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．

所得结论：

当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：

甲：△AEF的边AE=________cm，EF=________cm；

乙：△FDM的周长为16 cm；

丙：EG=BF.

你的任务：

1.填充甲同学所得结果中的数据；

2.  写出在乙同学所得结果的求解过程；

3.当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：

① 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；

② 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

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将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M，连接BF与EG交于点P．

（1）当点F与AD的中点重合时（如图1）：

①△AEF的边AE=　　　　　　 cm，EF=　　　　　　 cm，线段EG与BF的大小关系是EG　　　　　　　 BF；（填“＞”、“=”或“＜”）

②求△FDM的周长．

（2）当点F在AD边上除点A、D外的任意位置时（如图2）：

③试问第（1）题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结论；

④当点F在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？

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如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在E处，折痕为MN，则线段CN的长是　　　　 ．

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