张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图①,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.
小军的证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小俊的证明思路是:如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
(变式探究)如图③,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PD﹣PE=CF;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题:
(结论运用)如图④,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值.
九年级数学解答题困难题
张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图①,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.
小军的证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小俊的证明思路是:如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
(变式探究)如图③,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PD﹣PE=CF;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题:
(结论运用)如图④,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值.
九年级数学解答题困难题查看答案及解析
张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图①,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.
小军的证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小俊的证明思路是:如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
【变式探究】如图③,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PD﹣PE=CF;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题:
【结论运用】如图④,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值.
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【问题情境】
张老师给爱好学习的小林和小兰提出这样一个问题:如图①,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.
小林的证明思路是:如图②,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小兰的证明思路是:如图②,过点P作PG⊥CF,垂足为G,通过证明四边形PDFG是矩形,
可得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
【变式探究】如图③,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PD-PE=CF;
【结论运用】请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:
如图④,在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=x+3、l2:y=-3x+3,若l2上的一点M到l1的距离是1,请运用上述的结论求出点M的坐标.
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【问题情境】
张老师给爱好学习的小林和小兰提出这样一个问题:如图①,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.
小林的证明思路是:如图②,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小兰的证明思路是:如图②,过点P作PG⊥CF,垂足为G,通过证明四边形PDFG是矩形,
可得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
【变式探究】如图③,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PD﹣PE=CF;
【结论运用】请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:
如图④,在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=x+3、l2:y=﹣3x+3,若l2上的一点M到l1的距离是1,请运用上述的结论求出点M的坐标.
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阅读下面材料:小军遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=6,AC=4,点D为BC的中点,求AD的取值范围.
(1)小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题.他的做法是:如图2,延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:AD的取值范围是 .
(2)参考小军思考问题的方法,解决问题:如图3,△ABC中,E为AB中点,P是CA延长线上一点,连接PE并延长交BC于点D.求证:PA•CD=PC•BD.
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在数学课上,老师提出如下问题:
如图1,将锐角三角形纸片ABC(BC>AC)经过两次折叠,得到边AB,BC,CA上的点D,E,F.使得四边形DECF恰好为菱形.小明的折叠方法如下:
如图2,(1)AC边向BC边折叠,使AC边落在BC边上,得到折痕交AB于D; (2)C点向AB边折叠,使C点与D点重合,得到折痕交BC边于E,交AC边于F.
老师说:“小明的作法正确.”
请回答:小明这样折叠的依据是 ____________________.
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综合与实践
问题情境
在综合与实践课上,老师组织同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展数学活动.如图1,矩形ABCD中,AD=2AB,连接AC,将△ABC绕点A旋转到某一位置,观察图形,提出问题并加以解决.
实践操作
(1)如图2,慎思组的同学将图1中的△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,得到△A'B'C',此时B'C过点D,则∠ADB= 度.
(2)博学组的同学在图2的基础上继续旋转到图3,此时点C'落在CD的延长线上,连接BB',该组提出下面两个问题:
①C'D和AB有何数量关系?并说明理由.
②BB'和AC′有何位置关系?并说明理由.
请你解决该组提出的这两个问题.
提出问题
(3)请你参照以上操作,将图1中的△ABC旋转至某一位置,在图4中画出新图形,表明字母,说明构图方法,并提出一个问题,不必解答.
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