课题学习问题背景1 甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABC...

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问题背景1 甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，

（1）①在图1中画出旋转后的图形；②图1中，与线段AE垂直的线段是　　　　　　　 ，说明你的理由；

问题背景2　 在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点F为BC上一点，点E为DC上一点，∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N．连接EF。继续探索时，

甲发现：线段BF，EF，DE之间存在着关系式EF=BF+DE；

乙发现：△CEF的周长是一个恒定不变的值；

丙发现：线段BN，MN，DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2

（2）请你对甲、乙、两三人中一个结论进行研究，作出判断，并说明你的理由。

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问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形BC边上的高．辉辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．借用网格等知识就能计算出这个三角形BC边上的高．

（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；

（2）求出这个三角形BC边上的高．

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现场学习题：

问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．　　　　　　　 ．

思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC三边的长分别为a，2a、a（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是： 　 ．

探索创新：

（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，m≠n），请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为： 　　　 ．

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如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，点F在线段AG上，且BF∥DE．

（1）猜想线段DE、BF、EF之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为2，将△ABF绕点A逆时针旋转90°，点F的对应点为，请补全图形，并求出E、两点间的距离．

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如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC边上的任意一点（不同于端点B、C），连接AG，过B、D两点作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分为E、F．

（1）求证：△ABE≌△DAF；

（2）若△ADF的面积为1，试求|BE﹣DF|的值．

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阅读材料：

小强遇到这样一个问题：已知正方形ABCD的边长为a，求作另一个正方形EFGH，使它的四个顶点分别在已知正方形的四条边上，并且边长等于b.

小强的思考是：如图，假设正方形EFGH已作出,其边长为b，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，则正方形EFGH的中心就是正方形ABCD的中心O（对角线的交点）.

∵正方形EFGH的边长为b，∴对角线EG＝HF=b,

∴OE＝OF＝OG＝OH＝b，进而点E、F、G、H可作出.

解决问题:

（1）下列网格每个小正方形的边长都为1，请你在网格中作出一个正方形ABCD，使它的边长a＝，要求A、B、C、D四个顶点都在小正方形的格点上.

（2）参考小强的思路，探究解决下列问题：作另一个正方形EFGH，使它的四个顶点分别在（1）中所做正方形ABCD的边上，并且边长b取得最小值.请你画出图形，并简要说明b取得最小值的理由，写出b的最小值.

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如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：

(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；

(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式；

(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?

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如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：

(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；

(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式；

(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?

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如图，四边形ABCD是长方形．

（1） P为长方形内一点（如图），求证: ;

（2）探索若点P在AD边上(如图b）时，结论是否仍然成立．若成立请证明，不成立请说明理由。

（3）探索若点P在长方形ABCD外(如图c）时，结论是否仍然成立．若成立请证明，不成立请说明理由。

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下面是小明同学在学了等腰三角形后所做的一道题，题目是这样的：“已知△ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，求∠BAC的度数。”

【解析】
如图，∵AD⊥BC，AD=BC=BD=CD，

∴∠BAD=∠B=∠C=∠CAD=45°，

∴∠BAC=90°

你认为小明的解答正确吗？若不正确，请你将它补充完整。

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