（本小题满分10分）已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定...

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（本小题满分10分）已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且 PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是____ __．

（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边 PM

与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH： HO=2：5，则BE的长是多少？

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（本小题满分10分）已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且 PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是____ __．
（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边 PM
与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH： HO=2：5，则BE的长是多少？

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已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是______．
（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？

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已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．
（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是______．
（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？

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（本小题满分12分）如图所示，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）（4分）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）（8分）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）

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△ABC与△A′B′C′是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点．△ABC位置固定，△A′B′C′按如图叠放，使斜边A′B′在直线MN上，顶点B′与点M重合．等腰直角△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点A'与点N重合．设x秒时，△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为y平方厘米．

（1）当△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为平方厘米时，求△A′B′C′移动的时间；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）求△A′B′C′与△ABC重叠部分面积的最大值．
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△ABC与△A′B′C′是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点．△ABC位置固定，△A′B′C′按如图叠放，使斜边A′B′在直线MN上，顶点B′与点M重合．等腰直角△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点A'与点N重合．设x秒时，△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为y平方厘米．

（1）当△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为平方厘米时，求△A′B′C′移动的时间；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）求△A′B′C′与△ABC重叠部分面积的最大值．
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(本小题满分9分)
已知：△ABC是任意三角形．
⑴如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点．求证：∠MPN=∠A．
⑵如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P1、P2、……、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．
（请直接将该小问的答案写在横线上．）

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把两块全等的等腰直角△ABC和△DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q也与B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=______；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，0°＜α＜45°，如图2．问AP•CQ的值是多少？说明你的理由；
（3）将三角板DEF由图2所示的位置绕点O继续沿逆时针方向旋转，即45°＜α≤90°时，如图3．问AP•CQ的值又是多少？说明你的理由．

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已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．
求证：DE=DF．

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如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与△ABC三边分别交于点E、F、M．对于如下四个结论：①∠EMB=∠FMC；②AE+AF＝AC；③△DEF∽△ABC；④四边形AEMF是矩形．其中正确结论的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1

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