，），E（0，-2），F（2
，0）．
九年级数学解答题中等难度题
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。已知点D（
，），E（0，－2），F（
，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是________；
②过点F作直线交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。
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，），E（0，-2），F（2，0）． 九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
对于平面直角坐标系
O
中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点M，N，使得∠MPN=60°，则称P为⊙C 的关联点。已知点D（
，
），E（0，-2），F（
，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点O，D，E，F中，⊙O的关联点是______ ____；
②如果G（0，t）是⊙O的关联点，则t的取值范围是 ；
（2）如果线段EF上每一个点都是⊙O的关联点，那么⊙O的半径
最小为 ；
（3）Rt⊿ABC中，∠C=90
，BC=8,∠A=30，⊙P的半径为1，当点P运动时，始终确保⊿ABC的三条边中至少有一条边上恰好有唯一的⊙P的关联点。请你画出点P所走过的路线围成的图形的示意图，并在下面横线上直接写出它的总长。
答：点P经过的路线围成的图形的总长为 。
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对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，
），E（0，2
），F（﹣2，0）．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是哪几个点；
②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．
（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．
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对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：在线段AB外有一点P，如果在线段AB上存在两点C、D，使得∠CPD=90°，那么就把点P叫做线段AB的悬垂点．
（1）已知点A（2，0），O（0，0）
①若
，D（1，1），E（1，2），在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是______；
②如果点P（m，n）在直线
上，且是线段AO的悬垂点，求
的取值范围；
（2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围．
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对于平面直角坐标系
中的点
和一个正方形，给出如下定义：若在正方形的边上存在两个点
、
，使得
，则称点为这个正方形的关联点．在点
，
，
，
四个点中，正方形
的关联点的个数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
九年级数学单选题困难题查看答案及解析
对一个矩形ABCD及
给出如下定义：在同一平面内，如果上存在一点，使得这点到矩形ABCD的四个顶点的距离相等，那么称矩形ABCD是的“随从矩形”
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：
交x轴于点M，的半径为4，矩形ABCD沿直线运动
在直线l上
，
，
轴，当矩形ABCD是的“随从矩形”时，点A的坐标为______．
九年级数学填空题中等难度题查看答案及解析
对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，
），顶点C、D在x轴上，且OC=OD.
（1）当⊙P的半径为4时，
①在P1（
，
），P2（，
），P3（
，
）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是 ；
②如果点P在直线
上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；
（2）已知点P在轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围.
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对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，），顶点C、D在x轴上，且OC=OD.
（1）当⊙P的半径为4时，
①在P1（，），P2（，），P3（，）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是 ；
②如果点P在直线上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；
（2）已知点P在轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围.
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对于平面直角坐标系xOy中的点和⊙O，给出如下定义：过点A的直线l交⊙O于B，C两点，且A、B、C三点不重合，若在A、B、C三点中，存在位于中间的点恰为以另外两点为端点线段的中点时，则称点A为⊙O的价值点．
（1）如图1，当⊙O的半径为1时．
①分别判断在点D（，），E（﹣1，），F（2，3）中，是⊙O的价值点有 ；
②若点P是⊙O的价值点，点P的坐标为（x，0），且x＞0，则x的最大值为 ．
（2）如图2，直线y=﹣
x+3与x轴，y轴分别交于M、N两点，⊙O半径为1，直线MN上是否存在⊙O的价值点？若存在，求出这些点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）如图3，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于G、H两点，⊙C的半径为1，且⊙C在x轴上滑动，若线段GH上存在⊙C的价值点P，求出圆心C的横坐标的取值范围．
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