如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，B，...

九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析

如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax²+bx﹣3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．

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如图，直线y＝x＋3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．

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如图，直线y＝x＋3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．

【答案】（1）y＝－x2－2x＋3，顶点C的坐标为（－1，4）；（2）证明见解析．

【解析】

（1）【解析】
∵y＝x＋3与坐标轴分别交与A，B两点，∴A点坐标（－3，0）、B点坐标（0，3）.

∵抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A，B两点，

∴

解得

∴抛物线解析式为：y＝－x2－2x＋3.

∵y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，

∴顶点C的坐标为（－1，4）.

（2）证明：∵B，D关于MN对称，C（－1，4），B（0，3），

∴D（－2，3）.∵B（0，3），A（－3，0），∴OA＝OB.

又∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.

∵B，D关于MN对称，∴BD⊥MN.

又∵MN⊥x轴，∴BD∥x轴.

∴∠DBA＝∠BAO＝45°.

∴∠DBO＝∠DBA＋∠ABO＝45°＋45°＝90°.

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

把B（0，3），C（－1，4）代入得，

解得

∴y＝－x＋3.

当y＝0时，－x＋3＝0，x＝3，∴E（3，0）.

∴OB＝OE，又∵∠BOE＝90°，

∴∠OEB＝∠OBE＝∠BAO＝45°.

∴∠ABE＝180°－∠BAE－∠BEA＝90°.

∴∠ABC＝180°－∠ABE＝90°.

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°.

∵CM⊥BD，∴∠MCB＝45°.

∵B，D关于MN对称，

∴∠CDM＝∠CBD＝45°，CD∥AB.

又∵AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形.

∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是直角梯形.

【题型】解答题
【结束】
21

有两组卡片，第一组三张卡片上都写着A、B、B，第二组五张卡片上都写着A、B、B、D、E．试用列表法求出从每组卡片中各抽取一张，两张都是B的概率．

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如图，直线y＝x＋3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称.

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）求证：四边形ABCD是直角梯形.

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