定义:如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线,在△ABC中,∠B=30°,AD和 DE是△ABC的三分线,点D在 BC 边上,点E在 AC边上,且AD=BD,DE=CE,请写出∠C所有可能的度数________.
八年级数学填空题中等难度题
定义:如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线,在△ABC中,∠B=30°,AD和 DE是△ABC的三分线,点D在 BC 边上,点E在 AC边上,且AD=BD,DE=CE,请写出∠C所有可能的度数________.
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定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”.
性质:“朋友三角形”的面积相等.
如图1,在△ABC中,CD是AB边上的中线,
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”.并且SACD=SBCD
应用:如图2,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90° ,AD∥BC, AB=AD=4,BC=6,点E在BC上,点F在AD上,BE=AF,AE与BF交于点O
(1)求证:△AOB和△AOF是“朋友三角形”;
(2)连接OD,若△AOF和△DOF是“朋友三角形”,求四边形CDOE 的面积 .
图1 图2 图3
拓展:如图3, 在△ABC中,∠A=30° ,AB=8 ,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“朋友三角形” ,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A'CD,若△A'CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的 ,则△ABC的面积是 (请直接写出答案).
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定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”.
性质:“朋友三角形”的面积相等.
如图1,在△ABC中,CD是AB边上的中线,
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”.并且SACD=SBCD
应用:如图2,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90° ,AD∥BC, AB=AD=4,BC=6,点E在BC上,点F在AD上,BE=AF,AE与BF交于点O
(1)求证:△AOB和△AOF是“朋友三角形”;
(2)连接OD,若△AOF和△DOF是“朋友三角形”,求四边形CDOE 的面积 .
图1 图2 图3
拓展:如图3, 在△ABC中,∠A=30° ,AB=8 ,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“朋友三角形” ,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A'CD,若△A'CD与△ABC 重合部分的面积等于△ABC面积的 ,则△ABC的面积是 (请直接写出答案).
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定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理【解析】
如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.
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定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理【解析】
如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
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我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”,等积线被 这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”(例如三角形的中线就是三角形的等积线段).已 知菱形的边长为 4,且有一个内角为 60°,设它的等积线段长为 m,则 m 的取值范围是( )
A. m=4 或 m=4 B. 4≤m≤4 C. 2 D. 2 ≤m≤4
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我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”,等积线被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”(例如三角形的中线就是三角形的等积线段).已知菱形的边长为4,且有一个内角为60°,设它的等积线段长为m,则m的取值范围是________.
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定义:经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个三角形是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.例如如图1:等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.
(1)判断(对的打“√”,错的打“×”)
①等边三角形不存在“和谐分割线”
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍,则这个三角形必存在“和谐分割线”
(2)如图2,Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,请画出“和谐分割线”,并计算“和谐分割线”的长度;
(3)如图3,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,∠A=42°,求∠B的度数.
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阅读下列材料:
我们定义:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则称这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形. 如正方形就是和谐四边形.
结合阅读材料,完成下列问题:
(1) 下列哪个四边形一定是和谐四边形( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
(2)在四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,请直接写出∠BCD的度数.
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根据三角形外心的概念,我们可引入下一个新定义:
定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
根据准外心的定义,探究如下问题:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=10,AB=6,如果准外心P在AC边上,那么PA的长为_____.
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