平面直角坐标系在代数和几何之间架起了一座桥梁,实现了几何方法与代数方法的结合,使数与形统一了起来,在平面直角坐标系中,已知点A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点之间的距离可以表示为AB=,例如A(2,1)、B(﹣1,2),则A、B两点之间的距离AB==;反之,代数式也可以看作平面直角坐标系中的点C(5,1)与点D(1,﹣2)之间的距离.
(1)已知点M(﹣7,6),N(1,0),则M、N两点间的距离为 ;
(2)求代数式 的最小值;
(3)求代数式|| 取最大值时,x的取值.
九年级数学解答题困难题
平面直角坐标系在代数和几何之间架起了一座桥梁,实现了几何方法与代数方法的结合,使数与形统一了起来,在平面直角坐标系中,已知点A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点之间的距离可以表示为AB=,例如A(2,1)、B(﹣1,2),则A、B两点之间的距离AB==;反之,代数式也可以看作平面直角坐标系中的点C(5,1)与点D(1,﹣2)之间的距离.
(1)已知点M(﹣7,6),N(1,0),则M、N两点间的距离为 ;
(2)求代数式 的最小值;
(3)求代数式|| 取最大值时,x的取值.
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在平面直角坐标系中,反比例函数的图象经过点,.
(1)求代数式mn的值;
(2)若二次函数的图象经过点B,求代数式的值;
(3)若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点,且该交点在直线的下方,结合函数图象,求的取值范围.
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在平面直角坐标系中,反比例函数的图象经过点,.
(1)求代数式mn的值;
(2)若二次函数的图象经过点B,求代数式的值;
(3)若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点,且该交点在直线的下方,结合函数图象,求的取值范围.
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阅读材料:(8分)
例:说明代数式 的几何意义,并求它的最小值.
【解析】
,如图,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则可以看成点P与点A(0,1)的距离,可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以A′B=3, 即原式的最小值为3.
根据以上阅读材料,解答下列问题:
(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B 的距离之和.(填写点B的坐标)
(2)代数式 的最小值.
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阅读材料:
例:说明代数式 x2+1 + (x-3)2+4 的几何意义,并求它的最小值.
【解析】
x2+1 + (x-3)2+4 = (x-0)2+12 + (x-3)2+22 ,如图,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则 (x-0)2+12 可以看成点P与点A(0,1)的距离, (x-3)2+22 可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以A′B=3 2 ,即原式的最小值为3 2 .
根据以上阅读材料,解答下列问题:
(1)代数式 (x-1)2+1 + (x-2)2+9 的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B (2,3)的距离之和.(填写点B的坐标)
(2)代数式 x2+49 + x2-12x+37 的最小值为.
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在平面直角坐标系中,点的坐标分别为,,直线与线段有公共点,则的取值范围为 (用含的代数式表示).
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阅读理【解析】
数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合,树形转化的方法解决一些数学问题,小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用图1得到结论:P1P2=,他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y),P的坐标公式:x=,y=.
启发应用:
如图3:在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),⊙M经过原点O及点A,B,
(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与⊙M的位置关系,并说明理由;
(3)若∠BOA的平分线交AB于点N,交⊙M于点E,分别求出OE的表达式y1,过点M的反比例函数的表达式y2,并根据图象,当y2>y1>0时,请直接写出x的取值范围.
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阅读理【解析】
数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合,树形转化的方法解决一些数学问题,小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用图1得到结论:P1P2=,他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y),P的坐标公式:x=,y=.
启发应用:
如图3:在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),⊙M经过原点O及点A,B,
(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与⊙M的位置关系,并说明理由;
(3)若∠BOA的平分线交AB于点N,交⊙M于点E,分别求出OE的表达式y1,过点M的反比例函数的表达式y2,并根据图象,当y2>y1>0时,请直接写出x的取值范围.
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阅读理【解析】
数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合,树形转化的方法解决一些数学问题,小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用图1得到结论:P1P2=,他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y),P的坐标公式:x=,y=.
启发应用:
如图3:在平面直角坐标系中,已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),⊙M经过原点O及点A,B,
(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;
(2)判断点C与⊙M的位置关系,并说明理由;
(3)若∠BOA的平分线交AB于点N,交⊙M于点E,分别求出OE的表达式y1,过点M的反比例函数的表达式y2,并根据图象,当y2>y1>0时,请直接写出x的取值范围.
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