(问题提出)|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少?
(阅读理解)
为了解决这个问题,我们先从最简单的情况入手.|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离.那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离;|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值.
我们先看a表示的点可能的3种情况,如图所示:
(1)如图①,a在1的左边,从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.
(2)如图②,a在1和2之间(包括在1,2上),可以看出a到1和2的距离之和等于1.
(3)如图③,a在2的右边,从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.
(问题解决)
(1)|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是 .请你结合数轴探究:|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是 .
(2)|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是 .请你结合数轴探究:|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 ,并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置,由此可以得出a为 .
(3)求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值.
(4)求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值.
(拓展应用)
请在图⑤的数轴上表示出a,使它到2,5的距离之和小于4,并直接写出a的范围.
九年级数学解答题中等难度题
(问题提出)|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|最小值是多少?
(阅读理解)
为了解决这个问题,我们先从最简单的情况入手.|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离.那么|a﹣1|可以看做a这个数在数轴上对应的点到1的距离;|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和.下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值.
我们先看a表示的点可能的3种情况,如图所示:
(1)如图①,a在1的左边,从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.
(2)如图②,a在1和2之间(包括在1,2上),可以看出a到1和2的距离之和等于1.
(3)如图③,a在2的右边,从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.
(问题解决)
(1)|a﹣2|+|a﹣5|的几何意义是 .请你结合数轴探究:|a﹣2|+|a﹣5|的最小值是 .
(2)|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是 .请你结合数轴探究:|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 ,并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置,由此可以得出a为 .
(3)求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值.
(4)求出|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2019|的最小值.
(拓展应用)
请在图⑤的数轴上表示出a,使它到2,5的距离之和小于4,并直接写出a的范围.
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问题提出:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+BP的最小值.
(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴,∴PD=BP,∴AP+BP=AP+PD.
请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为 .
(2)自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下, AP+BP的最小值为 .
(3)拓展延伸:已知扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是上一点,求2PA+PB的最小值.
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(12分)问题提出:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,连结AP,BP,求AP+BP的最小值.
尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有=,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP,∴=,∴PD=BP,∴AP+BP=AP+PD.
请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为 .
自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下, AP+BP的最小值为 .
拓展延伸:已知扇形COD中,∠COD=90º,OC=6,OA=3,OB=5,点P是上一点,求2PA+PB的最小值.
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阅读下列材料:
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AC边上的一动点,以PB,PA为边构造□APBQ,求对角线PQ的最小值及此时的值是多少.
在解决这个问题时,小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识:端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短.进而,小明构造出了如图2的辅助线,并求得PQ的最小值为3.参考小明的做法,解决以下问题:
(1)继续完成阅读材料中的问题:当PQ的长度最小时,= ;
(2)如图3,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE,PB为边作□PBQE,那么对角线PQ的最小值为 ,此时= ;
(3)如图4,如果P为AB边上的一动点,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数),以PE,PC为边作□PCQE,那么对角线PQ的最小值为 ,此时= .
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阅读下列材料:
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AC边上的一动点,以PB,PA为边构造□APBQ,求对角线PQ的最小值及此时的值是多少.
在解决这个问题时,小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识:端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短.进而,小明构造出了如图2的辅助线,并求得PQ的最小值为3.参考小明的做法,解决以下问题:
(1)继续完成阅读材料中的问题:当PQ的长度最小时,= ;
(2)如图3,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE,PB为边作□PBQE,那么对角线PQ的最小值为 ,此时= ;
(3)如图4,如果P为AB边上的一动点,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数),以PE,PC为边作□PCQE,那么对角线PQ的最小值为 ,此时= .
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阅读下列材料:
已知:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AC边上的一动点,以PB,PA为边构造□APBQ,求对角线PQ的最小值及此时的值是多少.
在解决这个问题时,小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识:端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短.进而,小明构造出了如图2的辅助线,并求得PQ的最小值为3.参考小明的做法,解决以下问题:
(1)继续完成阅读材料中的问题:当PQ的长度最小时,= ;
(2)如图3,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE,PB为边作□PBQE,那么对角线PQ的最小值为 ,此时= ;
(3)如图4,如果P为AB边上的一动点,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数),以PE,PC为边作□PCQE,那么对角线PQ的最小值为 ,此时= .
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我们在学习一元二次方程的解法时,了解到配方法.“配方法”是解决数学问题的一种重要方法.请利用以上提示解决下题:
求证:
不论取任何实数,代数式的值总是正数
当为何值时,此代数式的值最小,并求出这个最小值.
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问题提出:以n边形的n个顶点和它内部的m个点,共(m+n)个点作为顶
点,可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形?
问题探究:为了解决上面的问题,我们将采取一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手:
探究一:以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P,共4个点为顶点,可把△ABC分割成多少个互
不重叠的小三角形?如图①,显然,此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形.
探究二:以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q,共5个点为顶点,可把△ABC分割成多少个
互不重叠的小三角形?
在探究一的基础上,我们可看作在图①△ABC的内部,再添加1个点Q,那么点Q的位置会有两种
情况:
一种情况,点Q在图①分割成的某个小三角形内部.不妨设点Q在△PAC的内部,如图②;
另一种情况,点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上.不妨设点Q在PA上,如图③.
显然,不管哪种情况,都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形.
探究三:以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R,共6个点为顶点,可把△ABC分割成________个
互不重叠的小三角形,并在图④中画出一种分割示意图.
探究四:以△ABC的三个顶点和它内部的m个点,共(m+3)个点为顶点,可把△ABC分割成________个
互不重叠的小三角形.
探究拓展:以四边形的4个顶点和它内部的m个点,共(m+4)个点为顶点,可把四边形分割成
________个互不重叠的小三角形.
问题解决:以n边形的n个顶点和它内部的m个点,共(m+n)个点作为顶点,可把原n边形分割成
________个互不重叠的小三角形.
实际应用:以八边形的8个顶点和它内部的2012个点,共2020个顶点,可把八边形分割成多少个互
不重叠的小三角形?(要求列式计算)
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