小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，四边形ABCD中
，
，
点P，Q分别在四边形ABCD的边BC，CD上，
，求证：
．
______；
小敏进行探索，如图2，将点P，Q的位置特殊化，使
，
，点E，F分别在边BC，CD上，此时她证明了
请你证明此时结论；
受以上
的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，
，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．
八年级数学解答题困难题
小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，四边形ABCD中，，点P，Q分别在四边形ABCD的边BC，CD上，，求证：．
______；
小敏进行探索，如图2，将点P，Q的位置特殊化，使，，点E，F分别在边BC，CD上，此时她证明了请你证明此时结论；
受以上的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．
八年级数学解答题困难题
阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
八年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题；
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
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课外兴趣小组活动时，老师出示了如下问题：如图①，已知在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝
AC.
小敏反复探索，不得其解．她想，可先将四边形ABCD特殊化，再进一步解决该问题．
(1)由特殊情况入手，添加条件：“∠B＝∠D”，如图②，可证AB＋AD＝AC.请你完成此证明．
(2)受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：过C点分别作AB，AD的垂线，垂足分别为点E，F，如图③.请你补全证明过程．
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（1）叙述三角形中位线定理,并运用平行四边形的知识证明；
（2）运用三角形中位线的知识解决如下问题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E,F分别是AB,CD的中点，求证EF=
.
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（本题满分10分）（1）叙述三角形中位线定理,并运用平行四边形的知识证明；
（2）运用三角形中位线的知识解决如下问题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E,F分别是AB,CD的中点，求证EF=．
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小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，四边形ABCD中，，点P，Q分别在四边形ABCD的边BC，CD上，，求证：．
______；
小敏进行探索，如图2，将点P，Q的位置特殊化，使，，点E，F分别在边BC，CD上，此时她证明了请你证明此时结论；
受以上的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．
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阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，△ABC及AC边的中点O。
求作：平行四边形ABCD。
小敏的作法如下：
①连接BO并延长，在延长线上截取OD＝BO；
②连接DA，DC.
所以四边形ABCD就是所求作的平行四边形.
老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作法正确的理由是_________________________________.
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“魅力数学”社团活动时，张老师出示了如下问题：
如图①，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B与∠D互补，试探究线段AB，AD，AC之间的数量关系；
小敏反复探索，不得其解，张老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”，于是，小敏想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决问题：
（1）特殊情况入手
添加条件：“∠B=∠D”，如图②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，写出边AD与AC之间的数量关系，同理可得AB与AC的数量关系，由此得AB，AD，AC之间的数量关系；
（2）解决原来问题
受到（1）的启发，在原问题上，添加辅助线，过点C分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E、F，如图③，请写出探究过程；
（3）解后反思
“一题多解”是数学解题的魅力之一，小敏在张老师的引导下，受探究结论的启发，结合图中的60°角，通过构造等边三角形，利用三角形全等同样解决了该问题，请在图①中作出辅助线，并简述你的探究过程．
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（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB．
求证：CA+AD=BC．
小明为解决上面的问题作了如下思考：作△ADC关于直线CD的对称图形△A′DC，
∵CD平分∠ACB，∴A′点落在CB上，且CA′=CA，A′D=AD．因此，要证的问题转化为只要证A′D=A′B．请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程．
（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的长．
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阅读
（1）阅读理【解析】
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
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