在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知线段AB和直线L，他想作一个顶点P在直线上L的特殊的
，使得
经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案：
分别以点A，点B为圆心，以线段AB的长度为半径画弧，两条弧在线段AB上方相交于点O；
以O为圆心，OA为半径作弧，与直线L相交于
，
两点；
连接
，
，
，
，
所以
，
就是所求的角
请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题：
使用直尺和圆规补全图形；
保留作图痕迹
完成下面的证明：
证明：在
中，连接OA，OB，
为等边三角形______
填推理的依据
，
______填推理的依据
九年级数学解答题中等难度题
在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知线段AB和直线L，他想作一个顶点P在直线上L的特殊的，使得
经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案：
分别以点A，点B为圆心，以线段AB的长度为半径画弧，两条弧在线段AB上方相交于点O；
以O为圆心，OA为半径作弧，与直线L相交于，两点；
连接，，，，
所以，就是所求的角
请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题：
使用直尺和圆规补全图形；保留作图痕迹
完成下面的证明：
证明：在中，连接OA，OB，
为等边三角形______填推理的依据
，
______填推理的依据
九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，
求AF的长．（结果保留根号）
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（2016浙江省丽水市）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
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已知在图一中，将等边
绕BC边中点D顺时针旋转
至
，直线AG与直线CF交于点
求证
．小明同学的思路是这样的：通过证明
∽
得到
，从而得到
，继续推理就可以使问题得到解决．
请根据小明的思路，求证：；
爱动脑筋的小明把问题做了进一步思考，他想：如果把题目的“等边”改成“等腰直角，其中
，
”，如图二，中的结论还成立吗？如果成立，求此时线段BM的最大值．
小明继续大胆设问：如图三，在中，
，
，将这样的按照题目中的方式旋转，请直接写出AG与CF的位置关系以及线段BM的变化范围．
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如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD= BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．
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