如图所示，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，证明：.

如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.

（1）证明△BCM≌△CAN；

（2）∠AEM=　　　　　 °；

（3）求证DE平分∠AEC；

（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.

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证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：

如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．

求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P

证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，

∴　　　　 =　　　　 （　　　　 ）．

同理可得，PB=　　　　 ．

∴　　　　 =　　　　 （等量代换）．

∴　　　　 （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的　　　　 ）

∴AB、BC、AC的垂直平分线　　　　 ．

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证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：

如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．

求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P

证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，

∴　　　　 =　　　　 （　　　　 ）．

同理可得，PB=　　　　 ．

∴　　　　 =　　　　 （等量代换）．

∴　　　　 （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的　　　　 ）

∴AB、BC、AC的垂直平分线　　　　 ．

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证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，已知：

如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．

求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P

证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，

∴　　　　 =　　　　 （　　　　 ）．

同理可得，PB=　　　　 ．

∴　　　　 =　　　　 （等量代换）．

∴　　　　 （到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的　　　　 ）

∴AB、BC、AC的垂直平分线　　　　 ．

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已知：如图，，射线平分．

（）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作的垂直平分线，与相交于点，连接、．

（）在（）的条件下，与的数量关系为__________，证明你的结论．

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已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE等于多少；

（1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由；

（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：

①请在图3中画出图形；

②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明．

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（8分）画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．

（2）在所画图中，

①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由．

②求证：△CDF为等腰直角三角形

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已知：如图， 中， ， 于， 平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．

（1）求证： ；

（2）求证： ；

（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．

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已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．

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如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠CAB的角平分线AE与 AB的垂直平分线DE相交于点E.

（1）如图2，若点E正好落在边BC上.

①求∠B的度数

②证明：BC=3DE

（2）如图3，若点E满足C、E、D共线.

求证：AD+DE=BC.

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