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如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果．
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明．

九年级数学解答题中等难度题

少年，再来一题如何？

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如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果．
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明．

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如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果．
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明．

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如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果．
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明．

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在平面直角坐标系中，将一块腰长为cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．
（1）点A的坐标为______

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在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，直角三角板含45°角的顶点P在边BC上移动（点P不与B，C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边AC交于点Q，当△ABP为等腰三角形时，CQ的长为_____．

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操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，如图3-1-13①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，
由①②③研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图①加以证明。
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由）。
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。

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把两块全等的等腰直角△ABC和△DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q也与B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=______；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，0°＜α＜45°，如图2．问AP•CQ的值是多少？说明你的理由；
（3）将三角板DEF由图2所示的位置绕点O继续沿逆时针方向旋转，即45°＜α≤90°时，如图3．问AP•CQ的值又是多少？说明你的理由．

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操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
（1）三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，如图①，四边形PDCE是正方形，则PD=PE．当PD与AC不垂直时，如图②、③，PD=PE还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论．
（2）三角板绕点P旋转，△PEB是否成为等腰三角形？若能，求出此时CE的长；若不能，请说明理由．
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，如图④，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图形加以证明．

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操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

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操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

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