探究题学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。（...

探究题

学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．

小明遇到了下面的问题：如图1，，点P在、内部，探究，，的关系小明过点P作的平行线，可证，，之间的数量关系是：

______．

如图2，若，点P在AC、BD外部，，，的数量关系是否发生变化？

请你补全下面的证明过程．

过点P作．

______

____________

______

______．

随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．

试构造平行线解决以下问题：

已知：如图3，三角形ABC，求证：．

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探究题

学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。

（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=　　　　　　　 ．

（2）如图2，若AC∥BD，点P在AB、CD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程.

过点P作PE∥AC.

∴∠A=　　　

∵AC∥BD

∴　　 ∥　　　　

∴∠B=　　　　

∵∠BPA=∠BPE-∠EPA

∴　　　　　　　　　　　　　　 ．

（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.试构造平行线解决以下问题：

已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.

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探究题

学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。

（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=　　　　　　　 ．

（2）如图2，若AC∥BD，点P在AB、CD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程.

过点P作PE∥AC.

∴∠A=　　　

∵AC∥BD

∴　　 ∥　　　　

∴∠B=　　　　

∵∠BPA=∠BPE-∠EPA

∴　　　　　　　　　　　　　　 ．

（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.试构造平行线解决以下问题：

已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.

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阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算 ．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：

请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：

______________.

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小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：

在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．

（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：

图①中：　　 　　　　　　　　　　 ；图②中：　　 　　　　　　　　　　 ， 图③中：　　　　　　　　　　　　 　．

（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．

（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是　　　　 ．（直接写出结果，不用写计算过程）

图①　　　　　　　 　　　　 图②　　　　　　　　　 　　 　 图③　　　　　　　　 　 　 图④

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阅读材料后解决问题：

小明遇到下面一个问题：

计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．

经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（24﹣1）（24+1）（28+1）

=（28﹣1）（28+1）

=216﹣1

请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．

（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．

（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．

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现场学习：我们学习了由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，知道可以借助数轴准确找到不等式组的解集，即两个不等式的解集的公共部分．

解决问题：解不等式组并利用数轴确定它的解集；

拓展探究：由三个一元一次不等式组成的不等式组的解集是这三个不等式解集的公共部分.

（1）直接写出的解集为　　　　　 ；

（2）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是　　　　　 ．

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阅读下列材料：

小明同学遇到下列问题：解方程组他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解， 运算量比较大，也容易出错.如果把方程组中的看作一个数，把看作 一个数，通过换元，可以解决问题. 以下是他的解题过程：

令， ．

这时原方程组化为解得

把代入， ．

得　 解得

所以，原方程组的解为

请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：

（1）解方程组

（2）若方程组的解是求方程组的解．

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学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题.

图1　　　　　　　　　　 图2

(1)如图1是由边长分别为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：(a＋2b)(a＋b)＝　　 ；

(2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a＋b＋c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为　　　　 ；

②已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，利用①中所得到的等式，求代数式a2＋b2＋c2的值.

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问题背景：

小红同学在学习过程中遇到这样一道计算题“计算4×3.142﹣4×3.14×3.28+3.282”，他觉得太麻烦，估计应该有可以简化计算的方法，就去请教崔老师．崔老师说：你完成下面的问题后就可能知道该如何简化计算啦！

获取新知：

请你和小红一起完成崔老师提供的问题：

（1）填写下表：

（2）观察表格，你发现A与B有什么关系？

解决问题：

（3）请结合上述的有关信息，计算4×3.142﹣4×3.14×3.28+3.282．

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