在△ABC中,∠C=90°
(1)如图1,P是AC上的点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似.
例如:过点P作PD∥BC交AB于D,则截得的△ADP与△ABC相似.请你在图中画出所有满足条件的直线.
(2)如图2,Q是BC上异于点B,C的动点,过点Q作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,直接写出满足条件的直线的条数.(不要求画出具体的直线)
九年级数学解答题中等难度题
在△ABC中,∠C=90°
(1)如图1,P是AC上的点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似.
例如:过点P作PD∥BC交AB于D,则截得的△ADP与△ABC相似.请你在图中画出所有满足条件的直线.
(2)如图2,Q是BC上异于点B,C的动点,过点Q作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,直接写出满足条件的直线的条数.(不要求画出具体的直线)
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定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.
例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P是△ABC的自相似点.
请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:
在平面直角坐标系中,点M是曲线y=(x>0)上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.
(1)如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点;当点M的坐标是(,3),点N的坐标是(
,0)时,求点P的坐标;
(2)如图3,当点M的坐标是(3,),点N的坐标是(2,0)时,求△MON的自相似点的坐标;
(3)是否存在点M和点N,使△MON无自相似点?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
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定义:点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一个三角形与△ABC相似,则称点P是△ABC的自相似点.
例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P为△ABC的自相似点.
请你运用所学知识,结合上述材料,解决下列问题:
在平面直角坐标系中,点M是曲线C:上的任意一点,点N是x轴正半轴上的任意一点.
(1) 如图2,点P是OM上一点,∠ONP=∠M, 试说明点P是△MON的自相似点; 当点M的坐标是,点N的坐标是
时,求点P 的坐标;
(2) 如图3,当点M的坐标是,点N的坐标是
时,求△MON的自相似点的坐标;
(3) 是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,?若存在,请直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
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定义:点P为△ABC内部或边上的点,若满足△PAB,△PBC,△PAC至少有一个三角形与△ABC相似(点P不与△ABC顶点重合),则称点P为△ABC的自相似点.
例如:如图1,点P在△ABC的内部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,则△BCP∽△ABC,故点P为△ABC的自相似点.
在平面直角坐标系xOy中,
(1)点A坐标为(,
), AB⊥x轴于B点,在E(2,1),F (
,
),G (
,
),这三个点中,其中是△AOB的自相似点的是 (填字母);
(2)若点M是曲线C: (
,
)上的一个动点,N为x轴正半轴上一个动点;
图2
① 如图2, ,M点横坐标为3,且NM = NO,若点P是△MON的自相似点,求点P的坐标;
②若,点N为(2,0),且△MON的自相似点有2个,则曲线C上满足这样条件的点M共有 个,请在图3中画出这些点(保留必要的画图痕迹).
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对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕方向相同,那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似。例如:如图①,△ABC∽△A/B/C/,且沿周界ABCA与A/B/C/A/环绕的方向相同,因此△ABC与△A/B/C/互为顺相似;如图②△ABC∽△A/B/C/,且沿周界ABCA与A/B/C/A/环绕的方向相反,因此△ABC与△A/B/C/互为逆相似;
根据图Ⅰ、图Ⅱ、图Ⅲ满足的条件,可分别得下列三对相似三角形:
①△ADE与△ABC;②△FGH与△FNM③△OSK与△OQP.其中,互为顺相似的是 ;互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)
(2)如下图在锐角△ABC中,∠A<∠B<∠C,点P在△ABC的边上(不与A、B、C重合)过点P画直线截△ABC,使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似,画出图形并说明截线满足的条件,不必说明理由。(请至少画出三种截法)
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对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似。例如,如图①,△ABC∽△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同,因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似;如图②,△ABC∽△A’B’C’,且沿周界ABCA与 A’B’C’A’环绕的方向相反,因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。
(1)根据图I、图II和图III满足的条件,可得下列三对相似三角形:①△ADE与△ABC;②△GHO与△KFO;③△NQP与△NMQ。其中,互为顺相似的是________;互为逆相似的是________。(填写所有符合要求的序号)
(2)如图③,在锐角△ABC中,ÐA<ÐB<ÐC,点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重合)。过点P画直线截△ABC,使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置,探索过点P的截线的情形,画出图形并说明截线满足的条件,不必说明理由。
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已知△ABC中,∠C是其最小的内角,如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线.例如:如图1,在Rt△ABC中,∠C=20°,过顶点B的一条直线BD交AC于点D,且∠DBC=20°,显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线.
(1)如图2,在△ABC中,∠C=20°,∠ABC=110°.请在图中画出△ABC的关于点B的伴侣分割线,并标注角度;
(2)在△ABC中,设∠B的度数为y,最小内角∠C的度数为x.试探索y与x之间满足怎样的关系时,△ABC存在关于点B的伴侣分割线.
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定义:如果过三角形一个顶点的直线与对边所在直线相交,得到的三角形中有一个与原三角形相似,那么我们称这样的直线为三角形的相似线.
如图1,△ABC中,直线CD与AB交于点D,若△ACD∽△ABC,则称直线CD是△ABC的相似线.
解决问题:
已知:如图2,在△ABC中,∠BAC>∠ACB >∠ABC.
求作:△ABC的相似线.
(1)小明用如下方法作出△ABC的一条相似线:
作法:如图3,①作△ABC的外接圆⊙O;
②以C为圆心,AC的长为半径画弧,与⊙O交于点P;
③连接AP,交BC于点D.
则直线AD为△ABC的相似线.
请你证明小明的作法的正确性.
(2)过A点还有其它的△ABC的相似线,请你参考(1)中的作法与结论,利用尺规作图,在图3中再作出一条△ABC的相似线AE;(写出作法,保留作图痕迹,不要证明)
(3)若△ABC中,∠BAC=90°,则△ABC中过A点的相似线有 条,过B点的相似线有 条.
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