数学实验室：实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理...

数学实验室：

实验材料：硬纸板、剪刀、三角板

实验方法：剪裁、拼图、探索

实验目的：验证勾股定理，拼图填空：

操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。

（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和　　　　 图③中小正方形的面积，（填“大于”“小于”“等于”）用关系式可表示为　　　　　　　　

（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为，其关系是　　　　　　　　　　 ，用a、b、c可表示为 　　　　　　　　　　 。

（3）拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为，其关系是　　　　　　　　　　 ，用a、b、c可表示为　　　　　　　　　　 。

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阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法.

先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形.

由图1可以得到，

整理，得．

所以．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，

请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，

整理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，

所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

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附加题：

（1）．填空：请用文字语言叙述勾股定理的逆定理：__________．

勾股定理的逆定理所给出的判定一个三角形是直角三角形的方法，和学过的一些其它几何图形的判定方法不同，它通过计算来判断．实际上计算在几何中也是很重要的，从数学方法这个意义上讲，我们学习勾股定理的逆定理，更重要的是拓展思维，进一步体会数学中的各种方法．

（2）．阅读：小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决了如下问题：

如图中，，是的中点，于，请说明三条线段、、总能构成一个直角三角形．

证明：设，，，，

∵是的中点，∴，

在中，，

在中，，

消去，得，从而，，

又因为在中，，

消去得，消去，所以，即．

所以，三条线段、、总能构成一个直角三角形．

可见，计算在几何证明中也是很重要的．小明正是利用代数中计算、消元等手段，结合相关定理来论证了几何问题．

（3）．解决问题：在矩形中，点、、、分别在边、、、上，使得，求证：四边形是平行四边形．

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如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为c)和一个正方形(边长为c)．请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．

(1)画出拼成的这个图形的示意图；

(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理．

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阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法。苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3．

请按照上面的思路，补全问题1、2的解答：

问题1：已知：如图1，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．

问题2：如图2，在△ABC和△A1B1C1中，∠C=∠C1=90°，AB=A1B1，AC=A1C1．

求证：△ABC≌△A1B1C1（补全证明过程） ．

证明：把两个直角三角形如图3所示拼在一起．

仿照上面的方法解答问题：

问题3：如图4，△ABC中，∠ACB=90°，四边形CDEF是正方形，AE=5，BE=3．

求阴影部分的面积和．

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教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图①)，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理．

(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．

(2)小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形(如图③)，利用上面探究所得结论，求当a＝3，b＝4时梯形ABCD的周长．

(3)如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．

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操作与探究

图（1）

定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．

数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．

小东用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；

小颖分用24根火柴棒摆出直角“整数三角形”；

小军受到小东、小颖的启发，用30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；

（1）请你画出小颖和小军摆出的直角“整数三角形”的示意图；

（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．

①摆出一个等腰“整数三角形”；

②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．

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如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：

∵S1=　　　　 ，S2=　　　　 ，S3=　　　　 ，

∴S1+S2　　　 S3.

即（　　 ）2+（　　 ）2=（　　 ）2．

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已知（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2，如图是正方形和长方形卡片（各有若干张），你能用拼图的方法说明上式吗？

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正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：

仿上用图示的方法，解答下列问题，操作设计

（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形；

（2）对任意三角形，设计一种方案，将它分若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．

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