对平面直角坐标系中的点P(x,y),定义d=|x|+|y|,我们称d为P(x,y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点P(x,y),若它的幸福指数d≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数,理由如下:设P(x,y)为y=x2+1上任意一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|,∵|x|≥0,|x2+1|=x2+1≥1,∴d≥1.∴y=x2+1是一个幸福函数.
(1)若点P在反比例函数y=的图象上,且它的幸福指数d=2,请直接写出所有满足条件的P点坐标;
(2)一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗?请判断并说明理由;
(3)若二次函数y=x2﹣(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,试求出m的取值范围.
九年级数学解答题困难题
对平面直角坐标系中的点P(x,y),定义d=|x|+|y|,我们称d为P(x,y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点P(x,y),若它的幸福指数d≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数,理由如下:设P(x,y)为y=x2+1上任意一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|,∵|x|≥0,|x2+1|=x2+1≥1,∴d≥1.∴y=x2+1是一个幸福函数.
(1)若点P在反比例函数y=的图象上,且它的幸福指数d=2,请直接写出所有满足条件的P点坐标;
(2)一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗?请判断并说明理由;
(3)若二次函数y=x2﹣(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,试求出m的取值范围.
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对于平面直角坐标系中的图形,,给出如下定义:为图形上任意一点,为图形上任意一点,如果,两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形,间的“闭距离”,记作(,).
已知点(,6),(,),(6,).
(1)求(点,);
(2)记函数(,)的图象为图形,若(,),直接写出的取值范围;
(3)的圆心为(t,0),半径为1.若(,),直接写出t的取值范围.
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定义:在平面直角坐标系中,点A、B为函数L图象上的任意两点,点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),把式子称为函数L从x1到x2的平均变化率;对于函数K:y=2x2﹣3x+1图象上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),当x1=1,x2﹣x1=时,函数K从x1到x2的平均变化率是_____;当x1=1,x2﹣x1=(n为正整数)时,函数K从x1到x2的平均变化率是_____.
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平面直角坐标系中,对于点和,给出如下定义:
若,则称点为点的“可控变点”.
例如:点的“可控变点”为点,点的“可控变点”为点.
()点的“可控变点”坐标为__________.
()若点在函数的图象上,其“可控变点”的纵坐标是,直接写出“可控变点”的横坐标.
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在平面直角坐标系xOy中,对于点和点,给出如下定义:若,则称点为点的限变点.例如:点的限变点的坐标是,点的限变点的坐标是.
(1)①点的限变点的坐标是___________;
②在点,中有一个点是函数图象上某一个点的限变点,这个点是_______________;
(2)若点在函数的图象上,其限变点的纵坐标的取值范围是,求的取值范围;
(3)若点在关于的二次函数的图象上,其限变点的纵坐标的取值范围是或,其中.令,求关于的函数解析式及的取值范围.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与反比例函数图象的一个交点为A.
1.求反比例函数的解析式;
2.若点P是坐标轴上任意一点,且满足PA=OA,求出点P的坐标.
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在平面直角坐标系中,点A(﹣3,4)关于y轴的对称点为点B,连接AB,反比例函数(x>0)的图象经过点B,过点B作BC⊥x轴于点C,点P是该反比例函数图象上任意一点,过点P作PD⊥x轴于点D,点Q是线段AB上任意一点,连接OQ、CQ.
(1)求k的值;
(2)判断△QOC与△POD的面积是否相等,并说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数(x>0)图象上任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B.
(1)求证:线段AB为⊙P的直径;
(2)求△AOB的面积;
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