平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变...

平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：

若，则称点为点的“可控变点”．

例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．

（）点的“可控变点”坐标为__________．

（）若点在函数的图象上，其“可控变点”的纵坐标是，直接写出“可控变点”的横坐标．

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在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：

若，则称点Q为点P的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为　　　　　　　　 ；

（2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；

（3）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′ 的取值范围是，求实数a的取值范围.

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在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为　　　　　　　　　　 ；

（2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　 ．

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在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．　　　　　

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为　　　　　　　　　　 ；（2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　 ．

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在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为　　　　　　　　　　 ；

（2）若点P在函数（）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　 ．

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在平面直角坐标系 XOY中，对于任意两点 (,)与 (,)的“非常距离”，给出如下定义： 若 ，则点 与点 的“非常距离”为 ；若 ，则点 与点的“非常距离”为 .

例如：点 (1,2)，点 (3,5)，因为 ，所以点 与点 的“非常距离”为 ，也就是图1中线段 Q与线段 Q长度的较大值（点 Q为垂直于 y轴的直线 Q与垂直于 x轴的直线 Q的交点）。

（1）已知点 A(-,0)， B为 y轴上的一个动点，①若点 A与点 B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点 B的坐标；②直接写出点 A与点 B的“非常距离”的最小值；　　

（2）已知 C是直线 上的一个动点，①如图2，点 D的坐标是（0，1），求点 C与点 D的“非常距离”的最小值及相应的点 C的坐标； ②如图3， E是以原点 O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点 C与点 E的“非常距离”的最小值及相应的点 E和点 C的坐标。

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（本题10分）在平面直角坐标系中，对于任意三点、、的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．

例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．

（1）已知点，，．

①若、、三点的“矩面积”为，求点的坐标；

②、、三点的“矩面积”的最小值为　　　　　　 ．

（2）已知点，，，其中．若、、三点的“矩面积”的为，求的取值范围；

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在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：

如果，那么称点Q为点P的“关联点”．

例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点”为点（－5，－6）．

（1）① 点（2，1）的“关联点”为　　　　　　　　　 ；

② 如果点A（3，－1），B（－1，3）的“关联点”中有一个在函数的图象上，那么这个点是　　　　 （填“点A”或“点B”）．

（2）① 如果点（－1，－2）是一次函数y = x + 3图象上点M的“关联点”，那么点M的坐标为　　　　　　　　　　 ；

② 如果点（m+1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N的“关联点”，求点N的坐标．

（3）如果点P在函数（－2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是－4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是　　　　　　　　　　 ．

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在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：

若，则点与点的非常距离为；

若，则点与点的非常距离为；

例如：点（1，2），点（3，5），因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．

（1）已知点A（，0），B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．

（2）已知C是直线上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应点E和点C的坐标．

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在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：

如果y′=，那么称点Q为点P的“关联点”．

例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．

（1）如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“关联点”中有一个在函数的图象上，那么这个点是　　　　 （填“点A”或“点B”）．

（2）如果点N*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上点N的“关联点”，求点N的坐标．

（3）如果点P在函数y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的取值范围.

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