阅读下列材料,完成相应学习任务:
四点共圆的条件
我们知道,过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆,过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗?小明经过实践探究发现:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆,下面是小明运用反证法证明上述命题的过程:
已知:在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°.
求证:过点A、B、C、D可作一个圆.
证明:如图(1),假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆,过A、B、C三点作圆,若点D在圆外,设AD与圆相交于点E,连接CE,则∠B+∠AEC=180°,而已知∠B+∠D=180°,所以∠AEC=∠D,而∠AEC是△CED的外角,∠AEC>∠D,出现矛盾,故假设不成立,因此点D在过A、B、C三点的圆上.
如图(2)假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆,过A、B、C三点作圆,若点D在圆内,设AD的延长线与圆相交于点E,连接CE,则∠B+∠AEC=180°,而已知∠B+∠ADC=180°,所以∠AEC=∠ADC,而∠ADC是△CED的外角,∠ADC>∠AEC,出现矛盾,故假设不成立,因此点D在过A、B、C三点的圆上.
因此得到四点共圆的条件:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.
学习任务:
(1)材料中划线部分结论的依据是 .
(2)证明过程中主要体现了下列哪种数学思想: (填字母代号即可)
A、函数思想 B、方程思想 C、数形结合思想 D、分类讨论思想
(3)如图(3),在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=16°.AD=BD,则求∠ADB的大小.
九年级数学解答题中等难度题
阅读下列材料,完成相应学习任务:
四点共圆的条件
我们知道,过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆,过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗?小明经过实践探究发现:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆,下面是小明运用反证法证明上述命题的过程:
已知:在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°.
求证:过点A、B、C、D可作一个圆.
证明:如图(1),假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆,过A、B、C三点作圆,若点D在圆外,设AD与圆相交于点E,连接CE,则∠B+∠AEC=180°,而已知∠B+∠D=180°,所以∠AEC=∠D,而∠AEC是△CED的外角,∠AEC>∠D,出现矛盾,故假设不成立,因此点D在过A、B、C三点的圆上.
如图(2)假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆,过A、B、C三点作圆,若点D在圆内,设AD的延长线与圆相交于点E,连接CE,则∠B+∠AEC=180°,而已知∠B+∠ADC=180°,所以∠AEC=∠ADC,而∠ADC是△CED的外角,∠ADC>∠AEC,出现矛盾,故假设不成立,因此点D在过A、B、C三点的圆上.
因此得到四点共圆的条件:过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆.
学习任务:
(1)材料中划线部分结论的依据是 .
(2)证明过程中主要体现了下列哪种数学思想: (填字母代号即可)
A、函数思想 B、方程思想 C、数形结合思想 D、分类讨论思想
(3)如图(3),在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=16°.AD=BD,则求∠ADB的大小.
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操作与探究
我们知道:过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆,探究过四边形四个顶点作圆的条件。
(1)分别测量下面各四边形的内角,如果过某个四边形的四个顶点能一个圆,那么其相对的两个角之间有什么关系?证明你的发现.
(2) 如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆,那么其相对的两个角之间有上面的关系吗?试结合下面的两个图说明其中的道理.(提示:考虑)
由上面的探究,试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.
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阅读下列材料:
(材料)如图,对任意符合条件的直角三角形BAC,绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形我们就能证明勾股定理: .
(请回答)如图是任意符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗?
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请阅读下列材料,并完成相应的任务:
在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办消去.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y,使得AX=BY=XY.(如图)解决这个问题的操作步骤如下:
第一步,在CA上作出一点D,使得CD=CB,连接BD.第二步,在CB上取一点Y',作Y'Z∥CA,交BD于点Z',并在AB上取一点A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,过点A作AZ∥A'Z',交BD于点Z.第四步,过点Z作ZY∥AC,交BC于点Y,再过点Y作YX∥ZA,交AC于点X.
则有AX=BY=XY.
下面是该结论的部分证明:
证明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.
∴ .
同理可得.∴.
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.
在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办消去.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y,使得AX=BY=XY.(如图)解决这个问题的操作步骤如下:
第一步,在CA上作出一点D,使得CD=CB,连接BD.第二步,在CB上取一点Y',作Y'Z∥CA,交BD于点Z',并在AB上取一点A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,过点A作AZ∥A'Z',交BD于点Z.第四步,过点Z作ZY∥AC,交BC于点Y,再过点Y作YX∥ZA,交AC于点X.
则有AX=BY=XY.
下面是该结论的部分证明:
证明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.
∴ .
同理可得.∴.
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.
任务:(1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程,判断四边形AXYZ的形状,并加以证明;
(2)请再仔细阅读上面的操作步骤,在(1)的基础上完成AX=BY=XY的证明过程;
(3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY,从而确定了点Z,Y的位置,这里运用了下面一种图形的变化是 .
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
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给出下列四个结论,其中正确的结论为( )
A. 等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等
D. 任意三个点都可确定一个圆
九年级数学单选题简单题查看答案及解析
阅读下面材料:
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.如图1 所示,平行四边形ABCD即为△ABC的“友好平行四边形”.
请解决下列问题:
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”;
(2)若△ABC是钝角三角形,则△ABC显然只有一个“友好矩形”, 若△ABC是直角三角形,其“友好矩形”有 个;
(3)若△ABC是锐角三角形,且,如图2,请画出△ABC的所有“友好矩形”;指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由.
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学习了勾股定理的逆定理,我们知道:在一个三角形中,如果两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形为直角三角形.类似地,我们定义:对于任意的三角形,设其三个内角的度数分别为x°、y°和z°,若满足,则称这个三角形为勾股三角形.
(1)根据“勾股三角形”的定义,请你直接判断命题:“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题?
(2)已知某一勾股三角形的三个内角的度数从小到大依次为x°、y°和z°,且xy=2160,求x+y的值;
(3)如图,△ABC内接于⊙O,AB=,AC=1+,BC=2,⊙O的直径BE交AC于点D.
①求证:△ABC是勾股三角形;
②求DE的长.
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