已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，动点P在直线BC上运动（不与点B...

已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，动点P在直线BC上运动（不与点B、C重合）．

（1）如图1，点P在线段BC上，作∠APQ=45°，PQ交AC于点Q．

①求证：△ABP∽△PCQ；②当△APQ是等腰三角形时，求AQ的长．

（2）①如图2，点P在BC的延长线上，作∠APQ=45°，PQ的反向延长线与AC的延长线相交于点D，是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由；

②如图3，点P在CB的延长线上，作∠APQ=45°，PQ的延长线与AC的延长线相交于点Q，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由．

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在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）

（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．

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在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE，且∠DAE＝90°，连接CE．

（1）如图①，当点D在线段BC上时：

①BC与CE的位置关系为　　 　；

②BC、CD、CE之间的数量关系为　　 　．

（2）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若不成立，请你写出正确结论，并给予证明．

（3）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　　 　．

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在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．

探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．

应用：在探究的条件下，若AB=，CD=1，则△DCE的周长为　　 　．

拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　　 　．

（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为　　 　．

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如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,其中∠BAC=∠EDF=90°、AB=AC=1，△DEF中的点E在BC边上运动（不与B、C重合），DE始终经过点A,设EF交AC于点H

（1）求证：△ABE∽△ECH；

（2）设BE= ，CH= ，求与的函数关系式，并求当取何值时， 有最大值，最大值是多少？

（3）当点E运动到何处时，△ABE是等腰三角形，并求出此时CH的长。

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