如图①已知正方形ABCD的边BC、CD上分别有E、F两点，且∠EAF=45°，现将△ADF...

如图①已知正方形ABCD的边BC、CD上分别有E、F两点，且∠EAF=45°，现将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABH处.

（1）线段EF、BE、DF有何数量关系？并说明理由；

模仿（1）中的方法解决（2）、（3）两个问题：

（2）如图②，若将E、F移至BD上，其余条件不变，且BE=，DF=3，求EF的长；

（3）如图③，图形变成矩形ABCD，∠EAF=45°，BE=3，AB=6，AD=10，求DF和EF的长.

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在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.

(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；

(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；

(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.

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（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，把△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG，请直接写出图中所有的全等三角形；

（2）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°.

①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，求证：EF=BE+DF；

②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF=∠BAD，①中的结论是否仍然成立？请说明理由

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如图，E与F分别在正方形ABCD边BC与CD上，∠EAF=45°.

（1）以A为旋转中心，将△ABE按顺时针方向旋转90°，画出旋转后得到的图形.

（2）已知BE=2cm，DF=3cm，求EF的长.

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问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．

【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　　　　　　 关系时，仍有EF=BE+FD；请证明你的结论.

【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长.（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73）

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（本题满分10分）

【问题】

如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BE+DF．

【思考】

将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′的位置，易知点F、D、E′在一条直线上，由SAS可以证得△AE′F≌△AEF．由此得到：EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．

【探究】

（1）如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD，BE=1，EF=2．2，求DF的长．

（2）将图②中的∠EAF绕点A旋转到如图③的位置，除去（1）中的条件BE=1，EF=2．2，其它条件不变时，探索线段EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由．

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（5分）（1）如图1，将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交BC于E，交CD于F，连接EF．若∠EAF=45°，BE、DF的长度是方程的两根，请直接写出EF的长；

（2）如图2，将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边交CB的延长线于E，交DC的延长线于F，连接EF．若AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，∠EAF=∠BAD，请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的前提下，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长．

（1）EF的长为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

（2）数量关系： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

证明：

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已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；

（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值．

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如图1，将EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF。

1.若四边形ABCD为正方形，当EAF=时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）

2.如图2，如果四边形ABCD中，AB=AD，ABC与ADC互补，当EAF= BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明。

3.在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周长（直接写出结果即可）。

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如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，

（1）求∠EAF的度数；

（2）在图①中，连结BD分别交AE、AF于点M、N，将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，连结MH，得到图②．求证：MN2＝MB2＋ ND2 ；

（3）在图②中，若AG＝12， BM＝，直接写出MN的值．

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