（2008•旅顺口区）两个全等的三角形如下图所示放置，点B、A、D在同一直线上．操作：在图...

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如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中 虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3 ．

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如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，

①△ADC是　　　　　　　 三角形；

②设△BDC的面积为，△AEC的面积为，则与的数量关系是　　　　．

（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究：如图4，已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，且BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

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如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

(1)操作发现：如图 2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　　　　　　　　　 ；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　　　　　　 ；

(2)猜想论证：

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

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（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是_________；（2分）

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.（2分）

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（5分）

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.

若在射线BA上存在点F，使，请直接写出相应的BF的长：BF＝＿＿＿＿＿．（3分）

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如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°,∠B=∠E=30°．

（1）操作发现:

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是　　　　　　　　 ；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　　　　　　　 ．

（2）猜想论证:

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究:

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

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