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如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以点O为坐标原点建立坐标系,设P,Q分别为AB,OB边上的动点,它们同时分别从点A,O向B点匀速运动,速度均为1厘米/秒,设移动的时间为t(0≤t≤4)秒.
(1)求运动t秒时,P,Q两点的坐标.(用含t的式子表示).
(2)若△OPQ的面积为Scm
2
,运动的时间为t秒,求S与t之间的函数关系式.当t为何值时,S有最大值?最大面积是多少?
(3)当t为何值时,直线PQ将△AOB的面积分成1:3两部分?
(4)按此速度运动下去,△OPQ能否成为正三角形?若能,求出时间t;若不能,请说明理由.能否通过改变Q点的速度,使△OPQ成为正三角形?若能,请求出改变后Q的速度和此时t的值.
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已知Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以O为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点,他们同时分别从点A、O向B点匀速移动,移动的速度都是1厘米/秒,设P、Q移动时间为t秒(0≤t≤4)
(1)试用t的代数式表示P点的坐标;
(2)求△OPQ的面积S(cm
2
)与t(秒)的函数关系式;当t为何值时,S有最大值,并求出S的最大值;
(3)试问是否存在这样的时刻t,使△OPQ为直角三角形?如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.
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如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以点O为坐标原点建立坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为1cm/秒,设P、Q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)过点P做PM⊥OA于M,求证:AM:AO=PM:BO=AP:AB,并求出P点的坐标(用t表示);
(2)求△OPQ面积S(cm
2
),与运动时间t(秒)之间的函数关系式,当t为何值时,S有最大值?最大是多少?
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)证明无论t为何值时,△OPQ都不可能为正三角形.若点P运动速度不变改变Q的运动速度,使△OPQ为正三角形,求Q点运动的速度和此时t的值.
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如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以点O为坐标原点建立坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为1cm/秒,设P、Q运动时间为t(0≤t≤4)
(1)AB的长为______cm.
(2)过点P做PM⊥OA于M,则P点的坐标为______(用含t的代数式表示).
(3)求△OPQ面积S(cm
2
)与运动时间t(秒)之间的函数关系式,当t为何值时,S有最大值?最大是多少?
(4)探究△OPQ能否为直角三角形,若能,请直接写出t的值;若不能,请说明理由.
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如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以点O为坐标原点建立坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为1cm/秒,设P、Q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)过点P做PM⊥OA于M,求证:AM:AO=PM:BO=AP:AB,并求出P点的坐标(用t表示);
(2)求△OPQ面积S(cm
2
),与运动时间t(秒)之间的函数关系式,当t为何值时,S有最大值?最大是多少?
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)证明无论t为何值时,△OPQ都不可能为正三角形.若点P运动速度不变改变Q的运动速度,使△OPQ为正三角形,求Q点运动的速度和此时t的值.
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如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以点O为坐标原点建立坐标系,设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为1cm/秒,设P、Q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)过点P做PM⊥OA于M,求证:AM:AO=PM:BO=AP:AB,并求出P点的坐标(用t表示);
(2)求△OPQ面积S(cm
2
),与运动时间t(秒)之间的函数关系式,当t为何值时,S有最大值?最大是多少?
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)证明无论t为何值时,△OPQ都不可能为正三角形.若点P运动速度不变改变Q的运动速度,使△OPQ为正三角形,求Q点运动的速度和此时t的值.
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如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3cm,OB=4cm,以点O为坐标原点建立坐标系,设P,Q分别为AB,OB边上的动点,它们同时分别从点A,O向B点匀速运动,速度均为1厘米/秒,设移动的时间为t(0≤t≤4)秒.
(1)求运动t秒时,P,Q两点的坐标.(用含t的式子表示).
(2)若△OPQ的面积为Scm
2
,运动的时间为t秒,求S与t之间的函数关系式.当t为何值时,S有最大值?最大面积是多少?
(3)当t为何值时,直线PQ将△AOB的面积分成1:3两部分?
(4)按此速度运动下去,△OPQ能否成为正三角形?若能,求出时间t;若不能,请说明理由.能否通过改变Q点的速度,使△OPQ成为正三角形?若能,请求出改变后Q的速度和此时t的值.
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已知:直角三角形AOB中,∠AOB=90°,OA=3厘米,OB=4厘米.以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系.设P、Q分别为AB边,OB边上的动点,它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,移动的速度都为1厘米每秒.设P、Q运动的时间为t秒(0≤t≤4).
(1)求△OPQ的面积S与(厘米
2
)与t的函数关系式;并指出当t为何值时S的最大值是多少?
(2)当t为何值时,△BPQ和△AOB相似;
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形;
(4)①试证明无论t为何值,△OPQ不可能为正三角形;
②若点P的移动速度不变,试改变点Q的运动速度,使△OPQ为正三角形,求出点Q的运动速度和此时的t值.
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已知Rt△AOB的两条直角边OA=3,OB=1,分别以OA、OB所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示.先将Rt△AOB绕原点O按顺时针方向旋转90°后,再沿x轴负方向平移1个单位长度得到△CDO.
(1)直接写出点A、C的坐标;
(2)求顶点A所经过的路径总长.
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已知Rt△AOB的两条直角边OA=3,OB=1,分别以OA、OB所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示.
先将Rt△AOB绕原点O按顺时针方向旋转90°后,再沿x轴负方向平移1个单位长度得到△CDO.
(1)直接写出点A、C的坐标;
(2)求线段AB扫过的图形的面积.
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如图,已知Rt△ABO,∠BAO=90°,以点O为坐标原点,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,AO=3,∠AOB=30°,将Rt△ABO沿OB翻折后,点A落在第一象限内的点D处.
(1)求D点坐标;
(2)若抛物线y=ax
2
+bx+3(a≠0)经过B、D两点,求此抛物线的表达式;
(3)若抛物线的顶点为E,它的对称轴与OB交于点F,点P为射线OB上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点M.是否存在点P,使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考公式:抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(-
,
).
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