如图,抛物线F:的顶点为P,抛物线:与y轴交于点A,与直线OP交于点B.过点P作PD⊥x轴于点D,平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′:,抛物线F′与x轴的另一个交点为C.
⑴当a = 1,b=-2,c = 3时,求点C的坐标(直接写出答案);
⑵若a、b、c满足了
①求b:b′的值;
②探究四边形OABC的形状,并说明理由.
九年级数学解答题中等难度题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线()经过点,顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,先将抛物线向上平移使其顶点在原点,再将其顶点沿直线平移得到抛物线,设抛物线与直线交于、两点,求线段的长.
(3)在图1中将抛物线绕点旋转后得到抛物线,直线总经过一个定点,若过定点的直线与抛物线只有一个公共点,求直线的解析式.
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如图,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴上,且, ,直线经过点,交轴于点.
(1)点、的坐标分别是( ),( );
(2)求顶点在直线上且经过点的抛物线的解析式;
(3)将(2)中的抛物线沿直线向上平移,平移后的抛物线交轴于点,顶点为点.求出当时抛物线的解析式.
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已知抛物线经过原点O及点A(-4,0)和点B(-6,3).
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标;
(2)如图1,将直线沿y轴向下平移后与(1)中所求抛物线只有一个交点C,平移后的直线与y轴交于点D,求直线CD的解析式;
(3)如图2,将(1)中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线,请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离.
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如图,抛物线y=x2+2x与直线y=x+1交于A、B两点,与直线x=2交于点P,将抛物线沿着射线AB平移个单位.
(1)平移后的抛物线顶点坐标为_____;
(2)在整个平移过程中,点P经过的路程为_____.
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如图,抛物线y=x2+2x与直线y=x+1交于A、B两点,与直线x=2交于点P,将抛物线沿着射线AB平移个单位.
(1)平移后的抛物线顶点坐标为_____;
(2)在整个平移过程中,点P经过的路程为_____.
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如图,抛物线y=x2+2x与直线y= 交于A,B两点,与直线x=2交于点P,将抛物线沿着射线AB平移个单位.
(1)平移后的抛物线顶点坐标为_______;
(2)在整个平移过程中,点P经过的路程为__________.
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已知抛物线经过原点O及点A(-4,0)和点B(-6,3).
(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标;
(2)如图1,将直线沿y轴向下平移后与(1)中所求抛物线只有一个交点C,平移后的直线与y轴交于点D,求直线CD的解析式;
(3)如图2,将(1)中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线,请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离.
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如图,直线ykx3经过点B(-,2),且与 x 轴交于点A.将抛物线 沿 x 轴作左右平移,记平移后的抛物线为C,其顶点为P.
(1)求∠OAB 的度数;
(2)抛物线与直线 ykx3相交于 M,N两点,求△MON的面积.
(3)在抛物线平移过程中,将△PAB 沿直线 AB 翻折得到△DAB,点D 能否落在抛物线C 上?如能,求出此时抛物线C 顶点P 的坐标;如不能,说明理由.
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如图1,抛物线C1:y=ax2+bx+1的顶点坐标为D(1,0)且经过点(0,1),将抛物线C1向右平移1个单位,向下平移1个单位得到抛物线C2,直线y=x+c,经过点D交y轴于点A,交抛物线C2于点B,抛物线C2的顶点为P.
(1)求抛物线C1的解析式;
(2)如图2,连结AP,过点B作BC⊥AP交AP的延长线于C,设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结BQ并延长交AC于点F,
①当点Q运动到什么位置时,S△PBD×S△BCF=8?
②连接PQ并延长交BC于点E,试证明:FC(AC+EC)为定值.
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如图1,抛物线C1:y=ax2+bx+1的顶点坐标为D(1,0)且经过点(0,1),将抛物线C1向右平移1个单位,向下平移1个单位得到抛物线C2,直线y=x+c,经过点D交y轴于点A,交抛物线C2于点B,抛物线C2的顶点为P.
(1)求抛物线C1的解析式;
(2)如图2,连结AP,过点B作BC⊥AP交AP的延长线于C,设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结BQ并延长交AC于点F,
①当点Q运动到什么位置时,S△PBD×S△BCF=8?
②连接PQ并延长交BC于点E,试证明:FC(AC+EC)为定值.
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