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某数学兴趣小组利用大小不等、颜色各异的正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成所提出的问题。
探究1：四边形ABCD是边长为1正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，小明看到图（1）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然不全等，考虑到点E是BC的中点，引条辅助线尝试就行了，随即小明写出了如下的证明过程：证明：取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可.
探究2：小明继续探索，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，如图（2）其它条件不变，结论AE=EF是否成立呢？ （填是或否）
小明还想试试，把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的任意一点”，如图（3）其它条件不变，那么结论AE=EF是否还成立呢？ （填是或否），请你选择其中一种完成证明过程给小强看。
探究3：在探究2结论AE=EF成立的情况下，如图（4）所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到BC上某处时（不含B、C），点F恰好落在直线y＝-2x＋3上，求此时点F的坐标．
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综合与实践：折纸中的数学
问题情境：数学活动课上，老师让同学们折叠正方形纸片ABCD进行探究活动，兴趣小组的同学经过动手操作探究，提出了如下两个问题：
问题1：如图（1），若点E为BC的中点，设AE将正方形纸片ABCD折叠，点B的对应点为B′，连接B′C，求证：B′C∥AE．
问题2：如图（2），若点E，点F分别为边BC，边AD的中点，沿AE、CF将正方形纸片ABCD折叠，点B的对应点为B′，点D的对应点D′，D′F与AB′交于点H，B′E与CD′交于点G，求证：四边形D′GB′H为矩形．
（1）解决问题：请你对兴趣小组提出的两个问题进行证明．
（2）拓展探究：解决完兴趣小组提出的两个问题后，实践小组的同学们进行如下实践操作：如图（3），点E，点F分别为BC、AD上的点，将正方形纸片沿AE、CF折叠，使得点B落在对角线上的点B′处，点D落在对角线AC上的点D′处，AE与对角线BD的交点为M，CF与对角线BD的交点为N，分别连接MB′，B′N，D′N，D′M．他们认为四边形MB′ND′为正方形．
实践小组的同学们发现的结论是否正确？请你说明理由．
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如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
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请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，
，
，将边AB绕点B顺时针旋转
得到线段BD，连接
求证：
的面积为
提示：过点D作BC边上的高DE，可证
≌
探究2：如图2，在一般的
中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接请用含a的式子表示的面积，并说明理由．
探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，
，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接试探究用含a的式子表示的面积，要有探究过程．
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请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D做BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是 ，△BCD的面积为 ；
（2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；
（3）探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
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请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
（1）探究1，如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D做BC边上的高DE，则DE与BC的数量关系是 ，△BCD的面积为 ；
（2）探究2，如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由；
（3）探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
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（4分）数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（ ）
A．25° B．30° C．36° D．45°
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请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
(1)如图①，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，另一边交BA的延长线于点G.求证：EF＝EG；
(2)如图②，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF＝EG(填“＝”或“≠”)；
(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图③，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G、A重合)，其余条件不变，若AB＝4，DG＝3，求
的值．
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请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
（1）如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G．求证：EF=EG．
（2）如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF EG（用“=”或“≠”填空）
（3）运用（1）（2）解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A（即点G、A重合），其余条件不变，若AB=4，BC=3，求
的值．
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（2011年青海，27,10分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图11-1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+
,理由如下:
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
探究2：如图11-2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.
探究3：如图11-3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：________.
探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，
，
，将边AB绕点B顺时针旋转
得到线段BD，连接
求证：
的面积为
提示：过点D作BC边上的高DE，可证
≌
探究2：如图2，在一般的
中，
探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，
，
的值．
的值．
,理由如下: