如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶...

如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线、相交于点.（1）若，则　　　　　　 ；

（2）①求证：点一定在的外接圆上；

②当点从点运动到点时，点也随之运动，求点经过的路径长；

（3）在点从点到点的运动过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值.

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如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上. 对角线EG、FP相交于点O.

（1）若AP=3，求AE的长；

（2）连接AC，判断点O是否在AC上，并说明理由；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中，正方形PEFG也随之运动，求DE的最小值．

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如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．

（1）若AP=1，则AE=　　　　 ；

（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；

②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．

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如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．

（1）若AP=1，则AE=　　　　 ；

（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；

②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．

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正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．

（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；

（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值．

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如图，正方形ABCD的边长是，点P是对角线AC上的一个点（不与A，C两点重合），连接BP，并将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BP′，连接PP′，CP′，PP′与BC相交于点E．

（1）求证：△BAP≌△BCP′；

（2）探究：线段PA，PC，PB之间满足什么数量关系，请写出结论并证明；

（3）若PA＜PC，当PB＝时， 求BE的长．

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