如图,点 O 是等边△ABC 内一点,∠AOB=105°,∠BOC 等于α,将△BOC 绕点 C 按 顺时针方向旋转 60°得△ADC,连接 OD.
(1)求证:△COD 是等边三角形.
(2)求∠OAD 的度数.
(3)探究:当α为多少度时,△AOD 是等腰三角形?
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如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上,顶点B的坐标为(n,2),点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BAD沿BD翻折,点A刚好落在BC边上的F处,BD、EF交于点P
(1)直接写出点E、F的坐标;
(2)若OD=1,求P点的坐标;
(3)动点Q从P点出发,依次经过F,y轴上的点M,x轴上的点N,然后返回到P点:
①若要使Q点运动一周的路径最短,试确定M、N的位置;
②若n=3,求最短路径的四边形PFMN的周长.
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记.如:表示当时的值,即;表示当时的值,即.
试回答:(1)______.
(2)______.
(结果用含的代数式表示,为正整数)
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在中,,点是直线上一点(不与、重合),以为一边在的右侧作,使,,连接.
(1)如图1,当点在线段上时,如果,则______度;
(2)设,.
①如图2,当点在线段上移动,则,之间有怎样的数量关系?请说明理由;
②当点在直线上时,则,之间有怎样的数量关系?
写出所有可能的结论并说明条件.
答:(2)①数量关系____________.
理由:
②数量关系____________.
备用图:
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如图①,在平面直角坐标系中,等边△ABC的顶点A,B的坐标分别为(5,0),(9,0),点D是x轴正半轴上一个动点,连接CD,将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,连接DE.
(Ⅰ)直接写出点C的坐标,并判断△CDE的形状,说明理由;
(Ⅱ)如图②,当点D在线段AB上运动时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE的最小周长及此时点D的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)当△BDE是直角三角形时,求点D的坐标.(直接写出结果即可)
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(1)(操作发现)
如图 1,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,∆ABC 的三个顶点均在格点上.现将∆ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°,点 B 的对应点为 B′,点 C 的对应点为 C′, 连接 BB′,如图所示则∠AB′B= .
(2)(解决问题)
如图 2,在等边∆ABC 内有一点 P,且 PA=2,PB= ,PC=1,如果将△BPC 绕点 B 顺时针旋转 60°得出△ABP′,求∠BPC 的度数和 PP′的长;
(3)(灵活运用)
如图 3,将(2)题中“在等边∆ABC 内有一点 P 改为“在等腰直角三角形 ABC 内有一点P”,且 BA=BC,PA=6,BP=4,PC=2,求∠BPC 的度数.
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先观察下列等式,再回答问题:
① =1+1=2;
②=2+ =2 ;
③=3+=3;…
(1)根据上面三个等式提供的信息,请猜想第四个等式;
(2)请按照上面各等式规律,试写出用 n(n 为正整数)表示的等式,并用所学知识证明.
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如图①所示,某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地,假设列车匀速行驶.如图②表示列车离乙地路程y(千米)与列车从甲出发后行驶时间x(小时)之间的函数关系图像.
(1)甲、丙两地间的路程为千米;
(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)当行驶时间x在什么范围时,高速列车离乙地的路程不超过100千米.
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如图1,直线l1:与坐标轴分别交于点A,B,与直线l2:交于点C.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求△BOC的面积;
(3)如图2,若有一条垂直于x轴的直线l以每秒2个单位的速度从点A出发沿射线AO方向作匀速滑动,分别交直线l1,l2及x轴于点M,N和Q.设运动时间为t(s),连接CQ.
①当OA=2MN时,求t的值;
②试探究是否存在点Q,使得以△OQC为等腰三角形?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由
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如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=-2x+8交y轴于点A,交x轴于点B,以AB为底作等腰三角形△ABC的顶点C恰好落在y轴上,连接BC,直线x=2交AB于点D,交BC于点E,交x轴于点G,连接CD.
(1)求证:∠OCB=2∠CBA;
(2)求点C的坐标和直线BC的解析式;
(3)求△DEB的面积;
(4)在x轴上存在一点P使PD-PC最长,请直接写出点P的坐标.
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