问题发现
在等腰三角形ABC中,,分别以AB和AC为斜边,向
的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中
于点F,
于点G,M是BC的中点,连接MD和ME.
填空:线段AF,AG,AB之间的数量关系是______;
线段MD,ME之间的数量关系是______.
拓展探究
在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系?并说明理由;
解决问题
在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边,向的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,若
,请直接写出线段DE的长.
九年级数学解答题困难题
问题发现
在等腰三角形ABC中,,分别以AB和AC为斜边,向
的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中
于点F,
于点G,M是BC的中点,连接MD和ME.
填空:线段AF,AG,AB之间的数量关系是______;
线段MD,ME之间的数量关系是______.
拓展探究
在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系?并说明理由;
解决问题
在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边,向的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,若
,请直接写出线段DE的长.
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(本题12分)某学校活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是 ①②③④
(填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形.
(2)●数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
(3)●类比探究:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则△MED的形状为__________ _________.等腰直角三角形
九年级数学解答题中等难度题查看答案及解析
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某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是________(填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.
●数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
●类比探索:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.
答:________.
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如图①,在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图①所示,其中,DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD,ME,MF,MG.则下列结论正确的是__________(填写序号)
①四边形AFMG是菱形;②△DFM和△EGM都是等腰三角形;③MD=ME;④MD⊥ME.
(2)数学思考:
如图②,在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程.
(3)类比探究:如图③Rt△ABC中,斜边BC=10,AB=6,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABD和ACE,请直接写出DE的长.
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(发现问题)如图①,在△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的形外作等腰直角三角形,直角的顶点分别为D、E,点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点,求证:△DFM≌△MGE.
(拓展探究)如图②,在△ABC中,分别以AB、AC为底边,向△ABC的形外作等腰三角形,顶角的顶点分别为D、E,且∠BAD+∠CAE=90°.点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点,若AD=5,AB=6,△DFM的面积为a,直接写出△MGE的面积.
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(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是__________;位置关系是__________.
(2)类比思考:
如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.
(3)深入研究:
如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明.
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以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABE 和等腰三角形ADF.
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图①),以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF,连接BF、ED,线段BF和ED的数量关系是_____________;
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图②),以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ADF,连接EF、BD,线段EF和BD具有怎样的数量关系?请说明理由;
(3)当四边形ABCD为平行四边形时,以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰△ABE和等腰△ADF,且△ABE和△ADF的顶角均为 ,连接EF、BD,交点为G.请用
表示出∠FGD,并说明理由.
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以四边形ABCD的边AB、AD为底边分别作等腰三角形ABF和ADE,连接EB.
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1),以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰直角三角形ABF和ADE,连接EB、FD,线段EB和FD的数量关系是 .
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2),以边AB、AD为斜边分别向内侧作等腰直角三角形ABF和ADE,连接EF、BD,线段EF和BD具有怎样的数量关系?请加以证明;
(3)当四边形ABCD为平行四边形时(如图3),以边AB、AD为斜边分别向平行四边形内测、外侧作等腰直角三角形ABF和ADE,且△EAD与△FBA的顶角都为α,连接EF、BD,交点为G,请用α表示出∠EGD,并说明理由.
图1 图2 图3
【答案】(1)EF=BD;(2)EF=BD;(3)
【解析】分析:(1)正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△AFD≌△ABE,由全等三角形的性质即可得到EB=FD;(2)根据等腰直角三角形的性质可得,再证得∠BAD=∠FAE,即可判定△BAD∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得
,即可得
;(3)
,先证△BFA∽△DEA,即可得
,
再证得,所以△BAD∽△FAE,根据全等三角形的性质即可得
,再由∠AHE=∠DHG,即可得
.
详【解析】
(1)EF=BD,
理由如下:
四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,
∴AF=AE,∠FAB=∠EAD=60°,
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°,
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°,
∴∠FAD=∠BAE,
在△AFD和△ABE中, ,
∴△AFD≌△ABE,
∴EB=FD;
(2)EF=BD.
证明:∵△AFB为等腰直角三角形
∴,∠FAB=45°
同理: ,∠EAD=45° ∴∠BAD+∠FAD=∠EAD+∠DAF
即∠BAD=∠FAE
∵,
∴
∴△BAD∽△FAE ∴
即:
(3)【解析】
∵△AFB为等腰直角三角形,∴FB=FA,
同理:ED=EA,∴,
又∵ ,∴△BFA∽△DEA,
∴,
∴,
∴,
∴△BAD∽△FAE,
∴,
又∵∠AHE=∠DHG,
∴.
点睛:本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等腰直角三角形的先证、相似三角形的判定和性质,题目的综合性很强,难度也不小,解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握.
【题型】解答题
【结束】
27
如图,二次函数的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).连接BC.
(1)求二次函数的解析式和直线BC的解析式;
(2)点M是直线BC上的一个动点(不与B、C重合),过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,交x轴于点P.
①如图1,求线段MN长度的最大值;
②如图2,连接AM,QN,QP.试问:抛物线上是否存在点Q,使得与
的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
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