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阅读下面解题过程,然后解答问题:
解方程:x4-x2-6=0
【解析】
设y=x2,则原方程可化为y2-y-6=0,解得:y1=3,y2=-2
当y=3时,;
当y=-2时,x2=-2,原方程无实数根.
∴原方程的解为:
这种解方程的方法叫“换元法”.
仔细体会这种方法的过程步骤,然后按照上述步骤解下列方程:
【解析】
设y=,则原方程可化为关于y的方程:______
解得:
请你将后面的过程补充完整:
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阅读下列文字,然后解答问题
解方程:x4-x2-6=0
【解析】
设y=x2,则原方程可化为y2-y-6=0
解得 y1=3,y2=-2
当y=3时,x2=3解得,当y=-2时,x2=-2此方程无实数根,
∴原方程的解为
观察上述解方程的过程,然后解方程:x4-5x2+6=0.
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阅读材料,回答问题.
材料:为解方程x4-x2-6=0,可将方程变形为(x2)2-x2-6=0,然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2-y-6=0①,
解得y1=-2,y2=3.
当y1=-2时,x2=-2无意义,舍去;当y2=3时,x2=3,解得x=±.
所以,原方程的解为x1=,x2=-.
问题:
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了降次的目的,体现了 的数学思想;
(2)利用本题的解题方法,解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
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阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题:
(1)例:解方程x2-|x|-2=0.
【解析】
当x≥0时,原方程可化为x2-x-2=0.
解得:x1=2,x2=-1(不合题意.舍去)
当x<0时,原方程可化为x2+x-2=0.
解得:x1=-2,x2=1(不合题意.舍去)
∴原方程的解是x1=2,x1=-2.
(2)请参照上例例题的解法,解方程x2-x|x-1|-1=0.
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阅读下面材料,并解答问题.
材料:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
【解析】
由分母为-x2+1,可设-x4-x2+3=(-x2+1)(x2+a)+b
则-x4-x2+3=(-x2+1)(x2+a)+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-(a-1)x2+(a+b)
∵对应任意x,上述等式均成立,∴,∴a=2,b=1
∴==x2+2+
这样,分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和.
解答:
(1)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
(2)试说明的最小值为8.
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材料:为解方程x4-x2-6=0,可将方程变形为(x2)2-x2-6=0,然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2-y-6=0…①,
解得y1=-2,y2=3.
当y1=-2时,x2=-2无意义,舍去;当y2=3时,x2=3,解得x=±.
所以原方程的解为x1=,x2=-.
问题:利用本题的解题方法,解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
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材料:为解方程x4-x2-6=0,可将方程变形为(x2)2-x2-6=0,然后设x2=y,则(x2)2=y2,原方程化为y2-y-6=0…①,解得y1=-2,y2=3.当y1=-2时,x2=-2无意义,舍去;当y2=3时,x2=3,解得x=±.所以原方程的解为x1=,x2=-.
问题:(1)在原方程得到方程①的过程中,利用______法达到了降次的目的,体现了______ 的数学思想;
(2)利用本题的解题方法,解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
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阅读下面例题的解答过程,体会并其方法,并借鉴例题的解法解方程。
例:解方程x2--1=0.
【解析】
(1)当x-1≥0即x≥1时,= x-1。
原化为方程x2-(x-1)-1=0,即x2-x=0
解得x1 =0.x2=1
∵x≥1,故x =0舍去,
∴x=1是原方程的解。
(2)当x-1<0即x<1时,=-(x-1)。
原化为方程x2+(x-1)-1=0,即x2+x-2=0
解得x1 =1.x2=-2
∵x<1,故x =1舍去,
∴x=-2是原方程的解。
综上所述,原方程的解为x1 =1.x2=-2
解方程x2--4=0.
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阅读下面例题的解答过程,体会、理解其方法,并借鉴该例题的解法解方程.
例:解方程x2-|x-1|-1=0
【解析】
(1)当x-1≥0即x≥1时.|x-1|=x-1,
原方程化为x2-(x-1)-1=0,即x2-x=0,
解得x1=0,x2=1.
∵x≥1,故x=0舍去,x=1是原方程的解
(2)当x-1<0即x<1时.|x-1|=-(x-1),
原方程化为x2+(x-1)-1=0,即x2+x-2=0,
解得x1=1,x2=-2.
∵x<1,故x=1舍去,x=-2是原方程的解.
综上所述,原方程的解为x1=1,x2=-2.
解方程:x2+2|x+2|-4=0.
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请同学们认真阅读下面材料,然后解答问题。(6分)
解方程(x2-1)2-5(x-1)+4=0
【解析】
设y=x2-1
则原方程化为:y2-5y+4=0 ① ∴y1=1 y2=4
当y=1时,有x2-1=1,即x2=2 ∴x=±
当y=4时,有x2-1=4,即x2=5 ∴x=±
∴原方程的解为:x1=- x2= x3=- x4=
解答问题:
⑴填空:在由原方程得到①的过程中,利用________________法达到了降次的目的,体现了________________的数学思想。
⑵解方程-3(-3)=0