-
已知在平面直角坐标系xoy中,直线y=-3x-3交x轴于点A,交y轴于点C,点B的坐标为(3,0),抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知D(4,-1),在抛物线上是否存在点P,使得以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O?若点P存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)已知正方形BEFG的顶点E在x轴上,除B点外,正方形BEFG还有一个顶点在抛物线上,请直接写出E点所有可能的坐标.
-
在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A(1,2),与x轴相交于另一点B.
(1)求:二次函数y1的解析式及B点坐标;
(2)若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后,得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点,其中右边的交点为C点.点P在线段OC上,从O点出发向C点运动,过P点作x轴的垂线,交直线AO于D点,以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF(当P点运动时,点D、点E、点F也随之运动);
①当点E在二次函数y1的图象上时,求OP的长.
②若点P从O点出发向C点做匀速运动,速度为每秒1个单位长度,同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动,速度为每秒2个单位长度(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点作x轴的垂线,与直线AC交于G点,以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN(当Q点运动时,点G、点M、点N也随之运动),若P点运动t秒时,两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上(正方形在x轴上的边除外),求此刻t的值.
-
在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A(1,2),与x轴相交于另一点B.
(1)求:二次函数y1的解析式及B点坐标;
(2)若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后,得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点,其中右边的交点为C点.点P在线段OC上,从O点出发向C点运动,过P点作x轴的垂线,交直线AO于D点,以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF(当P点运动时,点D、点E、点F也随之运动);
①当点E在二次函数y1的图象上时,求OP的长.
②若点P从O点出发向C点做匀速运动,速度为每秒1个单位长度,同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动,速度为每秒2个单位长度(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点作x轴的垂线,与直线AC交于G点,以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN(当Q点运动时,点G、点M、点N也随之运动),若P点运动t秒时,两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上(正方形在x轴上的边除外),求此刻t的值.
-
在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y1=ax2+3x+c的图象经过原点及点A(1,2),与x轴相交于另一点B.
(1)求:二次函数y1的解析式及B点坐标;
(2)若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后,得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点,其中右边的交点为C点.点P在线段OC上,从O点出发向C点运动,过P点作x轴的垂线,交直线AO于D点,以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF(当P点运动时,点D、点E、点F也随之运动);
①当点E在二次函数y1的图象上时,求OP的长.
②若点P从O点出发向C点做匀速运动,速度为每秒1个单位长度,同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动,速度为每秒2个单位长度(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点作x轴的垂线,与直线AC交于G点,以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN(当Q点运动时,点G、点M、点N也随之运动),若P点运动t秒时,两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上(正方形在x轴上的边除外),求此刻t的值.
-
已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,如图1,直角三角板△MON中,OM=ON=,OQ=1,直线l过点N和点N,抛物线y=ax2+x+c过点Q和点N.
(1)求出该抛物线的解析式;
(2)已知点P是抛物线y=ax2+x+c上的一个动点.
①初步尝试
若点P在y轴右侧的该抛物线上,如图2,过点P作PA⊥y轴于点A,问:是否存在点P,使得以N、P、A为顶点的三角形与△ONQ相似.若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
②深入探究
若点P在第一象限的该抛物线上,如图3,连结PQ,与直线MN交于点G,以QG为直径的圆交QN于点H,交x轴于点R,连结HR,求线段HR的最小值.
-
(2004•北京)已知:在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)任作一条与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线,设交点分别为A、B.若∠AOB=90°.
(1)判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值,并说明理由;
(2)确定抛物线y=ax2(a>0)的解析式;
(3)当△AOB的面积为4时,求直线AB的解析式.
-
(2004•北京)已知:在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)任作一条与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线,设交点分别为A、B.若∠AOB=90°.
(1)判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值,并说明理由;
(2)确定抛物线y=ax2(a>0)的解析式;
(3)当△AOB的面积为4时,求直线AB的解析式.
-
(2004•北京)已知:在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)任作一条与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线,设交点分别为A、B.若∠AOB=90°.
(1)判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值,并说明理由;
(2)确定抛物线y=ax2(a>0)的解析式;
(3)当△AOB的面积为4时,求直线AB的解析式.
-
(2013年四川广安10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.
①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;
②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.(结果保留根号)
-
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标.