定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．问题情景：已知如图所示...

定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．

问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角．

（1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并延长交于点，连接，来论证你的猜想．

（2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论．

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如图①，是外一点，过点做的两条切线，切点分别为．若，则点叫做的切角点．

（1）如图②，的半径是1，点O到直线的距离为2．若点是的切角点，且点在直线上，请用尺规作出点；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图③，在中，，，，是的内切圆．若点是的切角点，且点在的边上，求的长．

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阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示。　

同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲）

证明：∵AB切⊙O于点A，　 ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P

问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？

请说明理由。

知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F。　 求证：EF∥BC。　　

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下列说法正确的是(　 　)

A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线　　 B. 若直线与圆有公共点，则直线与圆相交

C. 若直线与圆不相切，则它与圆相交　　 D. 若直线与圆有唯一公共点，则这点是切点

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定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“友好圆”．

（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则AC边上的友好圆的半径为　　　　 ．

（2）如图2，已知等腰△ABC，AB=AC=10，BC=12，画草图并求出它所有的友好圆的半径．

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定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．

（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则AC边上的伴随圆的半径为　 ．

（2）如图2，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，画草图并直接写出它的所有伴随圆的半径．

（3）如图3，△ABC中，∠ACB=90°，点P在边AB上，AP=2BP，D为AC中点，且∠CPD=90°．

①求证：△CPD的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆；

②求cos∠PDC的值．

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如图14，是的直径，，连接．

（1）求证：；

（2）若直线为的切线，是切点，在直线上取一点，使所在的直线与所在的直线相交于点，连接．

①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；

②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

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已知：如图，，，点是边上一点，过点作（垂足为）交于点，且，以点为圆心，长为半径作交于点

求证：斜边是的切线；

设与相切的切点为，，，连、，求的长．

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