如图，在正方形ABCD中，动点P在射线CB上（与B、C不重合），连结AP，过D作DF∥AP...

如图，在正方形ABCD中，动点P在射线CB上（与B、C不重合），连结AP，过D作DF∥AP交直线BC于点F，过F作FE⊥直线BD于点E，连结AE、PE．

（1）如图，当点P在线段CB上时

①求证：△ABP≌△DCF；

②点P在运动过程中，探究：△AEP的形状是否发生变化，若不变，请判断△AEP的形状，并说明理由；

（2）如图，当点P在CB的延长线上时,若正方形ABCD的边长为1，设BP＝x，当x为何值时，DF平分∠BDC？

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如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

①想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论。

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

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(14分)

△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP=CQ，连结PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E.

(1)如图，当点P在边AB(与点A、B不重合)上，问：

①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.

②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？若能，求出DE

的长，若不能，简要说明理由；

(2)当点P在射线AB上，若设AP=x，CD=y，求：

①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．

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在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H(点H与点D不重合)．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．

（感知）（1）如图①，当点H与点C重合时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．

（探究）（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由．

（应用）（3）在图②中，当DF=3，CE=5时，直接利用探究的结论，求AB的长．

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如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图，求∠QEP的度数；

（2）如图，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．

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在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．

（1）如图①，当点H与点C重合时，可得FG　　FD．（大小关系）

（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．

（3）在图②中，当AB=8，BE=3时，利用探究的结论，求CF的长．

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在正方形ABCD中，过点A引射线AH，交边CD于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．

（1）如图①，当点H与点C重合时，可得FG　　FD．（大小关系）

（2）如图②，当点H为边CD上任意一点时，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．

（3）在图②中，当AB=8，BE=3时，利用探究的结论，求CF的长．

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已知：正方形ABCD的边长为2，点M在射线BC上，且∠BAM＝θ，射线AM交BD于点N，作CE⊥AM于点E．

(1)如图1，当点M在边BC上时，则θ的取值范围是(点M与端点B不重合)　　　 　；∠NCE与∠BAM的数量关系是　　　 　；

(2)若点M在BC的延长线时；

①依题意，补全图2；

②(1)中的∠NCE与∠BAM的数量关系是否发生变化？若变化，写出数量关系，并说明理由．

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已知：正方形ABCD的边长为2，点M在射线BC上，且∠BAM＝θ，射线AM交BD于点N，作CE⊥AM于点E．

(1)如图1，当点M在边BC上时，则θ的取值范围是(点M与端点B不重合)　　　 　；∠NCE与∠BAM的数量关系是　　　 　；

(2)若点M在BC的延长线时；

①依题意，补全图2；

②(1)中的∠NCE与∠BAM的数量关系是否发生变化？若变化，写出数量关系，并说明理由．

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已知射线AP是△ABC的外角平分线，连结PB、PC．

（1）如图1，若BP平分∠ABC，且∠ACB=30°，写出∠APB的度数．

（2）如图1，若P与A不重合，求证：AB+AC＜PB+PC．

（3）如图2，若过点P作PM⊥BA，交BA延长线于M点，且∠BPC=∠BAC，求：的值．

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