在矩形中，已知，在边上取点，使，连结，过点作，与边或其延长线交于点．猜想：如图①，当点在边...

在矩形中，已知，在边上取点，使，连结，过点作，与边或其延长线交于点．

猜想：如图①，当点在边上时，线段与的大小关系为　　　　　 ．

探究：如图②，当点在边的延长线上时，与边交于点．判断线段与的大小关系，并加以证明．

应用：如图②，若利用探究得到的结论，求线段的长．

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如图所示，把一个直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合，已知．

（1）三角尺旋转了多少度？连结，试判断的形状；

（2）求的长；

（3）边结，试猜想线段与的大小关系，并证明你的结论．

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如图，矩形中， ， ，动点在边上，连结，过点作的垂线，交直线于点．设， ．

（）求关于的函数关系式．

（）当时，求的长．

（）若直线与线段延长线交于点，当时，求的长．

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如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8 cm，点P在CD边上，AP=AB，　　 PC=4cm，连结PB．点M从点P出发，沿PA方向匀速运动（点M与点P、A不重合）；点N同时从点B出发，沿线段AB的延长线匀速运动，连结MN交PB于点F．

（1）求AB的长；

（2）若点M的运动速度为1cm/s，点N的运动速度为2cm/s，△AMN的面积为S，点M和点N的运动时间为，求S与的函数关系式，并求S的最大值；

（3）若点M和点N的运动速度相等，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

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如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8 cm，点P在CD边上，AP=AB，　　 PC=4cm，连结PB．点M从点P出发，沿PA方向匀速运动（点M与点P、A不重合）；点N同时从点B出发，沿线段AB的延长线匀速运动，连结MN交PB于点F．

（1）求AB的长；

（2）若点M的运动速度为1cm/s，点N的运动速度为2cm/s，△AMN的面积为S，点M和点N的运动时间为，求S与的函数关系式，并求S的最大值；

（3）若点M和点N的运动速度相等，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

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如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？

特例求解

当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC．

深入探究

当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．

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如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结，过点作，垂足为，交的延长线于点．

求证：为的切线；

猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；

若，，求线段的长．

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已知，中，，是边上一点，作，分别交边，于点，.

（1）若（如图1），求证：.

（2）若，过点作，交（或的延长线）于点.试猜想：线段，和之间的数量关系，并就情形（如图2）说明理由.

（3）若点与重合（如图3），，且.

①求的度数；

②设，，，试证明：.

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已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．

（1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，

求tan∠BCP的值．

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已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．

（1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠BCP的值．

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